ATRACTOR

Se cancelarmos o algarismo \(\require{cancel} 6\) que é comum ao numerador e ao denominador da fracção \(\frac{64}{16}\), obtemos \(\frac{\cancel{6}\,4}{1\,\cancel{6}}=\frac{4}{1}\), e de facto \(\frac{64}{16} = 4\). Analogamente, \(\frac{\cancel{9}\,8}{4\,\cancel{9}}=2\) e \(\frac{\cancel{6}\,5}{2\,\cancel{6}}=\frac{5}{2}\). Contudo, em geral este é um procedimento incorrecto. Para que fracções é válido?

Colocada em termos assim tão gerais, esta questão é demasiado complicada. Comecemos, por nos restringir às fracções em que o numerador e o denominador são números com dois algarismos. Consideraremos fracções \(\frac{\cancel{c}\,a}{\cancel{c}\,b}\), \(\frac{a\,\cancel{c}}{b\,\cancel{c}}\), \(\frac{\cancel{c}\,a}{b\,\cancel{c}}\) e \(\frac{a\,\cancel{c}}{\cancel{c}\,b}\), exigindo-se, para se efectuar o cancelamento, que \(b\) não seja nulo. Designaremos por cancelável uma fracção em que o cancelamento seja válido.

Observe-se que nas fracções \(\frac{\cancel{c}a}{\cancel{c}a}\) ou \(\frac{a\cancel{0}}{b\cancel{0}}\) o cancelamento é imediato. A estes casos chamaremos triviais. Além disso, se \(b \in \{1,\ldots,9\}\) e \(a,c \in \{0,1,\ldots,9\}\), cada uma das igualdades \[\frac{\cancel{c}a}{\cancel{c}b}=\frac{a}{b} \quad \text{e} \quad \frac{a\cancel{c}}{b\cancel{c}}=\frac{a}{b}\] é equivalente a \(a = b\) ou \(c=0\). Analogamente, se \(a = 0\), então a fracção \(\frac{\cancel{c}\,0}{b\,\cancel{c}}\) só é cancelável se \(c = 0\). Trata-se, portanto, de casos triviais.

Note-se ainda que, se \(\frac{\cancel{c}a}{b\cancel{c}}=\frac{a}{b}\) e \(a\neq 0\), então também vale a igualdade recíproca \(\frac{b\cancel{c}}{\cancel{c}a}=\frac{b}{a}\). E que, se \(\frac{\cancel{c}a}{b\cancel{c}}=\frac{a}{b}\) com \(c \neq 0\), então \(c = a\) se e só se \(a = b = c\) (caso em que a fracção tem cancelamento trivial). Por isso, no que se segue daremos atenção às fracções \(\frac{ca}{bc}\) em que \(a, b\) e \(c\) são distintos dois a dois.

(*) As aplicações interactivas incluídas ao longo do texto foram realizadas no Atractor, no âmbito de uma bolsa atribuída pela Fundação para a Ciência e Tecnologia.