Reciclando o erro 
\(\beta\) composto
O primeiro inteiro positivo que pode ser uma base e que não é primo é \(4\). E, nesta base, só há duas fracções não triviais que permitem o cancelamento: \(\frac{32}{13}\) e a recíproca, \(\frac{13}{32}\). Como veremos, esta escassez está relacionada com o facto de \(4\) ter poucos divisores e de \(4-1\) ser primo. Comecemos por analisar alguns exemplos da tabela seguinte, onde se designam os divisores próprios de \(\beta\) por \(d\), e por \(\mathcal{F}(\beta)\) as fracções canceláveis não triviais na base \(\beta\) sem contar com as correspondentes recíprocas.
| \(\beta\) | \(\beta-1\) | \(d\) | \(\mathcal{F}(\beta)\) | Recíprocas |
|---|---|---|---|---|
| \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(\frac{32}{13}\) | \(\frac{13}{32}\) |
| \(6\) | \(5\) | \(2,\,3\) | \(\frac{54}{25}, \, \frac{53}{15}\) | \(\frac{25}{54}, \, \frac{15}{53}\) |
| \(8\) | \(7\) | \(2,\,4\) | \(\frac{76}{37}, \, \frac{74}{17} \) | \(\frac{37}{76}, \, \frac{17}{74}\) |
| \(9\) | \(8\) | \(3\) | \(\frac{86}{28}, \, \frac{43}{14}\) | \(\frac{28}{86}, \,\frac{14}{43}\) |
| \(10\) | \(9\) | \(2,\,5\) | \(\frac{98}{49}, \, \frac{95}{19}, \,\frac{64}{16},\, \frac{65}{26}\) | \(\frac{49}{98},\,\frac{19}{95},\,\frac{16}{64},\,\frac{26}{65}\) |
| \(12\) | \(11\) | \(2,\,3,\,4,\,6\) | \(\frac{11\,\,10}{5\,\,11}, \, \frac{11\,\, 9}{3\,\, 11}, \, \frac{11\,\, 8}{2\,\, 11}, \, \frac{11\,\, 6}{1\,\, 11}\) | \(\frac{5\,\,11}{11\,\,10}, \,\frac{3\,\,11}{11\,\,9}, \,\frac{2,\, 11}{11\,\, 8}, \,\frac{1\,\, 11}{11\,\, 6}\) |
| \(14\) | \(13\) | \(2,\,7\) | \(\frac{13\,\,12}{6 \,\, 13}, \, \frac{13 \,\, 7}{1 \,\, 13}\) | \(\frac{6\,\,13}{13 \,\, 12}, \,\frac{1\,\,13}{13 \,\, 7}\) |
| \(15\) | \(14\) | \(3,\,5\) | \(\frac{14\,\, 12}{4 \,\, 14}, \, \frac{14\,\,10}{2 \,\, 14}, \, \frac{7\, 6}{2\,7}, \, \frac{7\, 5}{1\,7}, \, \frac{12\,\, 10}{3\,\,12}, \, \frac{12\,\,9}{2\,\,12}\) | \(\frac{4\,\, 14}{14 \,\, 12},\,\frac{2\,\, 14}{14 \,\, 10},\,\frac{2\,7}{7\,6},\,\frac{1\,7}{7\,5}, \,\frac{3\,\,12}{12\,\,10},\,\frac{2\,\,12}{12\,\,9}\) |
Fixemos um natural composto \(\beta\). Uma fracção \(\frac{ca}{bc}\) na base \(\beta\), sendo \(a,b \in \{1,2,\ldots,\beta-1\}\) e \(c \in \{0,1,2,\ldots,\beta-1\}\), é cancelável se e só se \((\beta c + a) b = (\beta b + c) a\). Note-se que, se \(a=b\), então tem-se \((\beta c + a) a = (\beta a + c) a\), ou seja, \(\beta a (c - a) = a(c - a)\), e, portanto, \(a=c\) e a fracção é trivial. Além disso, devemos ter \(c\neq 0\), caso contrário a igualdade \((\beta c + a) b = (\beta b + c) a\) reduz-se a \(ab = \beta ab\), logo \(\beta=1\). Por isso, no que se segue suporemos que \(a \neq b\) e \(c \neq 0\).
Para qualquer \(\beta\) composto e cada divisor positivo \(d \) de \(\beta\), distinto de \(1\) e \(\beta\), é imediato verificar que a fracção \(\frac{ca}{bc}\) com \[ a = \beta - d, \quad b = \frac{\beta}{d} -1 \quad e \quad c = \beta -1 \;\;\;\; \;\;\; \;\;\; (3)\] permite o cancelamento. De facto, na base \(\beta\) tem-se \[\require{cancel} \frac{\beta-1\,\,\,\beta - d}{\frac{\beta}{d}-1\,\,\, \beta -1} = d = \frac{\beta - d}{\frac{\beta}{d} -1}.\] Por exemplo, se \(\beta = 4\), então \(d=2\), produzindo-se com este processo uma fracção cancelável (e a correspondente recíproca), nomeadamente \(\frac{3\,2}{1\,3}.\) Se \(\beta = 16\), então \(d\) pode ser \(2\), \(4\) ou \(8\), e obtemos três fracções canceláveis (e as recíprocas) \[\frac{\cancel{15}\,\,\,14}{7\,\,\, \cancel{15}}, \quad \frac{\cancel{15}\,\,\,12}{3\,\,\, \cancel{15}}, \quad \frac{\cancel{15}\,\,\,8}{1\,\,\, \cancel{15}}.\]
Suponhamos que a base \(\beta\) é um número ímpar. Observe-se que, se \(1<d<\beta\) é divisor de \(\beta\), então \(d\) é ímpar e os naturais \(a=\beta - d\), \(b=\frac{\beta}{d} - 1\) e \(c=\beta -1\) são pares (que, como vimos, constroem uma fracção \(\frac{ca}{bc}\) cancelável na base \(\beta\) ). Logo os números \[ \hat{a}=\frac{\beta - d}{2}, \quad \hat{b}=\frac{\frac{\beta}{d} - 1}{2}, \quad \hat{c}=\frac{\beta -1}{2} \] são naturais e algarismos permitidos na base \(\beta\); além disso, também formam uma fracção \(\frac{\hat{c}\,\hat{a}}{\hat{b}\,\hat{c}}\) cancelável, que não está na lista \((3)\) porque agora \(\hat{c} < \beta -1\).
Por exemplo, se \(\beta =9\) e \(d=3\), obtivemos anteriormente a fracção \(\frac{86}{28}\); agora encontrámos \(\frac{43}{14}\). Para \(\beta = 15\) e \(d=5\), o processo da secção anterior fornece a fracção cancelável \(\frac{14\,\,10}{2\,\,14}\); agora conhecemos outra, \(\frac{75}{17}\).
A afirmação anterior pode generalizar-se: sempre que se obtenha uma fracção cancelável numa base \(\beta\) cujos algarismos sejam todos pares (seja \(\beta\) ímpar ou não), então a fracção que se obtém dividindo cada algarismo por \(2\) também é cancelável nessa base. De facto, se \(\frac{ca}{bc}\) é cancelável na base \(\beta\) e \(a,b,c \in \{1,2,\ldots \beta -1\}\) são naturais pares, então tem-se \((\beta c + a)b=(\beta b+c)a\), de que resulta, dividindo cada termo por \(2\), a igualdade \((\beta \frac{c}{2} + \frac{a}{2})\frac{b}{2}=(\beta \frac{b}{2} + \frac{c}{2})\frac{a}{2}\); esta equação confirma que a fracção \(\frac{\frac{c}{2}\,\,\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}\,\,\frac{c}{2}}\) é cancelável na base \(\beta\).
De modo análogo se conclui que, reciprocamente, se \(\frac{ca}{bc}\) é cancelável na base \(\beta\) e \(k \in \mathbb{N}\) é tal que \(ka, kb, kc \in \{1,2,\ldots \beta -1\}\), então estes naturais são algarismos na base \(\beta\) e a fracção \(\frac{kc\,\,ka}{kb\,\,kc}\) é cancelável nessa base.
