ATRACTOR

Os números da última tabela que analisámos sugerem que há mais modos de obter fracções canceláveis além dos que aqui considerámos. E a discussão das secções anteriores leva-nos a crer que há muitas fracções \(\frac{ca}{bc}\) que são canceláveis e não triviais numa base \(\beta\) se

• \(\beta\) é composto e \(\require{cancel} \beta-1\) é primo, mas \(\beta\) tem muitos divisores: veja-se o caso de \(\beta=60\), com \(\mathcal{N}(60) = 20\);
• \(\beta\) é composto ímpar e \(\beta\) ou \(\beta-1\) tem muitos divisores: por exemplo, se \(\beta=81\), obtemos \(\mathcal{N}(81)=48\);
• \(\beta\) é um quadrado par e \(\beta - 1\) tem muitos divisores, como quando \(\beta=100\), que tem \(\mathcal{N}(100)= 74\).

Será possível saber quantas fracções canceláveis não triviais há em cada base \(\beta\), e quais são?

Dado \(\beta\) composto, já sabemos que, se \(\beta-1\) é primo, então \[\mathcal{N}(\beta)= 2 \times \sharp\,\{d\in \mathbb{N}: 1<d<\beta;\, d\,|\,\beta\}.\]

Em particular, daqui resulta que

1. \(\mathcal{N}(\beta)= 2\), se \(\beta=4\).
2. \(\mathcal{N}(\beta)= 4\), se \(\beta - 1\) é primo e \(\beta\) tem exactamente dois divisores próprios distintos.

Por exemplo, se \(\beta = 8\), \(\beta-1=7\) e os divisores próprios de \(\beta\) são \(2\) e \(4\); logo \(\mathcal{N}(8)= 4\). Por razão análoga, \(\mathcal{N}(14) = 4\). Quando \(\beta = 12\), tem-se \(\beta-1=11\) e os divisores próprios de \(\beta\) são \(2\), \(3\), \(4\) e \(6\); por isso, \(\mathcal{N}(12) = 8\). Porém, se \(\beta = 22\), então \(\beta - 1\) não é primo e, apesar de \(\beta\) ter apenas \(2\) e \(11\) como divisores próprios, \(\mathcal{N}(22) = 12\).

Observações:

• A hipótese de \(\beta - 1\) ser primo e \(\beta\) ter exactamente dois divisores próprios distintos implica que \(\beta\) é par e que, se \(\beta>8\), se tem \(\beta=2q\), onde \(q\) é um primo ímpar.
• Como veremos, \(\mathcal{N}(\beta)= 2\) só se \(\beta=4\); e \(\mathcal{N}(\beta)= 4\) só se \(\beta - 1\) é primo e \(\beta\) tem exactamente dois divisores próprios distintos, ou \(\beta=9\).

Analisemos agora valores de \(\beta\) composto tais que \(\beta-1\) também é composto. Fixada uma tal base, consideremos uma fracção \(\frac{\cancel{c}a}{b\cancel{c}}\) não trivial e cancelável nessa base, onde \(a,b,c \in \{1,\ldots,\beta - 1\}\) são distintos dois a dois. Como sabemos, a possibilidade de cancelamento na fracção é equivalente à igualdade \((\beta c + a)b= (\beta b + c)a\), ou seja, \[ ab\,(\beta - 1) = c \,(\beta b - a). \;\;\;\;\;\;\;\;\; (4)\] Daqui resulta que, se \(p\) é um factor primo de \(\beta-1\), então \(p\) tem de dividir \(c\) ou \(\beta b -a\). De facto, podemos acrescentar que, em qualquer destas alternativas, \(c\) e \(\beta - 1\) têm de ter um divisor primo em comum. Vejamos porquê.

Uma vez que \(\beta b - a = (\beta - 1) b + (b-a)\), se \(p\) divide \(\beta b - a\), então tem de dividir \(b-a\). Seja \(q\) um inteiro não nulo tal que \(b-a=pq\). Como \(0 < |b-a| < \beta-1\), devemos ter \(|q| < \frac{\beta - 1}{p}\). Designemos por \(r\) o natural \(\frac{\beta - 1}{p}\) e reescrevamos a igualdade \[ab = \frac{c \,(\beta b - a)}{(\beta - 1)}\] usando a informação anterior: \[ab = \frac{c\,[(\beta-1) b + pq]}{\beta - 1} = c \,(b + \frac{pq}{{\beta - 1}}) = c \,(b + \frac{q}{r})\] ou seja, \[abr = c \,(br + q).\] Note-se agora que \(0< |q| < r\) e, portanto, tem de existir um divisor primo \(u\) comum a \(r\) e a \(c\), caso contrário, \(c\) e \(r\) seriam primos entre si e \(r\) teria de dividir \(br+q\), logo \(q\), o que não é possível. Seja então \(u\) um divisor primo comum a \(r\) e a \(c\). Uma vez que \(u\) divide \(r\) e \(r\) divide \(\beta - 1\) (pois \(\beta - 1 = pr\) ), tem-se que \(u\) divide \(\beta-1\). Ou seja: \(c\) e \(\beta - 1\) têm um divisor primo em comum.

Podemos então prosseguir com a segunda possibilidade enunciada no parágrafo anterior, considerando um factor primo \(p\) de \(\beta - 1\) e de \(c\). Sejam \(m\) e \(n\) naturais tais que \(c=mp\) e \(\beta - 1 = np\), onde \(m \leq n=\frac{\beta - 1}{p}\) uma vez que \(c \leq \beta - 1\). A igualdade \((4)\) reescreve-se então como \[abn = (\beta b - a)m \;\;\; (5)\] logo \[b = \frac{am}{\beta m - an}=\frac{amp}{\beta mp - anp}= \frac{ca}{\beta c - (\beta - 1) a}=\frac{ca}{a + \beta\ell}\] onde \(\ell = c-a\).

Observe-se ainda que, de \((5)\), também resulta que \(b\) divide \((\beta b - a)m\), logo divide \(am\). Seja \(s\) um natural tal que \(am=sb\). Então \[b=\frac{am}{s}, \quad c = \frac{(\beta - 1)m}{n}, \quad a = \frac{(\beta m - s)}{n} = c + \frac{m-s}{n}\] uma vez que (5) é equivalente a \(a=\frac{\beta \,b-a}{bn} \,m\), e temos \[\begin{eqnarray*} \beta m - \frac{am}{b} &=& \beta m - s = (\beta-1) m + m - s \\ c &=& \frac{(\beta - 1)m}{n}\\ a &=& \frac{\beta \,b-a}{bn} \,m = \frac{(\beta-1) m}{n} + \frac{m - s}{n} = c + \frac{m-s}{n}. \end{eqnarray*}\]

Consequentemente, \(n\) divide \(m-s\) e, como \(m \leq n\) e \(s > 0\), devemos ter \(m-s \leq 0\). Contudo, \(m-s=0\) implica que \(a=c\), caso trivial que excluímos. Assim, tem-se \(m-s < 0\) e, portanto, \(a < c\) e \(\ell \in \mathbb{N}\).

Em resumo, se \(\beta\) e \(\beta - 1\) são compostos, para que a fracção \(\frac{c a}{b c}\) seja cancelável têm de existir um primo \(p\), divisor comum de \(\beta -1\) e de \(c\), e naturais \(1\leq m \leq \frac{\beta - 1}{p}\) e \(1 \leq \ell < c\) tais que \(\frac{ca}{a + \beta\,\ell}\) é um número natural, e \[\begin{eqnarray*} c &=& pm\\ a &=& c-\ell \\ b &=& \frac{ca}{a + \beta\ell}. \end{eqnarray*}\]

Observação: Note-se que a escrita anterior de \(a,b,c\) a partir dos dados \(p, m, \ell\) não é, em geral, única. Por exemplo, se \(\beta = 15\), então o divisor primo \(p=7\) de \(14\), \(m=2\) e \(\ell=2\) constroem a fracção cancelável \(\frac{14\,\, 12}{4 \,\, 14}\); esta fracção é também obtida com o divisor primo \(p=2\) de \(14\), \(m=7\) e \(\ell=2\).

Provemos agora que o recíproco também é válido: se \(\beta\) e \(\beta - 1\) são compostos, estes valores de \(a,b,c\) construídos a partir dos dados \(p, m, \ell\) produzem fracções \(\frac{\cancel{c} a}{b \cancel{c}}\) não triviais e canceláveis na base \(\beta\).

Consideremos um primo \(p\) divisor de \(\beta-1\) e naturais \(1\leq m \leq \frac{\beta - 1}{p}\) e \(1 \leq \ell < c\) tais que \(\frac{ca}{a + \beta\,\ell}\) é um número natural. Então os algarismos \[\begin{eqnarray*} c &=& pm\\ a &=& c-\ell \\ b &=& \frac{ca}{a + \beta\ell} \end{eqnarray*}\] estão em \(\{1,\ldots,\beta-1\}\), logo são permitidos na base \(\beta\). Esta afirmação é imediata para \(a\) e \(c\). Quanto a \(b\), observe-se que, se \( \frac{ca}{a + \beta\ell}\) é inteiro, então, como \(0 < c \leq \beta-1\), tem-se \[0 < ca \leq (\beta -1)a < (\beta -1)a + (\beta-1)\,\beta\, \ell = (\beta -1)\,(a + \beta\,\ell)\] e, consequentemente, \[0 < \frac{ca}{a + \beta\ell} < \beta -1.\] Além disso, \(a,b,c\) são distintos dois a dois uma vez que \(a \neq c\) por construção, e já sabemos que \(a=b\) se e só se \(a=c\). E, portanto, a fracção \(\frac{ca}{bc}\) não é trivial.

Falta apenas verificar que \(\frac{ca}{bc}\) é cancelável. Para isso, basta confirmar que \[[\beta \,pm + pm -\ell]\, \frac{pm\,(pm-\ell)}{pm-\ell +\beta \,\ell} = (pm-\ell)[\beta \,\frac{pm\,(pm-\ell)}{pm-\ell +\beta \,\ell} +pm]\] e um cálculo simples atesta que esta igualdade é válida.

Por exemplo, se \(\beta=15\), os divisores primos de \(\beta - 1 =14\) são \(2\) e \(7\). Para o primo \(7\), o algoritmo anterior fornece fracções canceláveis \(\frac{ca}{bc}\) tais que \[\begin{eqnarray*} c&=&7m, \quad 1\leq m \leq 2\\ a &=& c-\ell, \quad 1\leq \ell < c \\ b &=& \frac{ca}{a + 15\,\ell}, \quad \text{se este quociente é inteiro,} \end{eqnarray*}\] e são as seguintes:

Usando o outro primo divisor de \(14\), obtemos fracções \(\frac{ca}{bc}\) tais que \[\begin{eqnarray*} c&=&2m, \quad 1\leq m \leq 7\\ a &=& c-\ell, \quad 1\leq \ell < c \\ b &=& \frac{ca}{a + 15\,\ell}, \quad \text{se este quociente é inteiro,} \end{eqnarray*}\] e quatro delas são canceláveis (duas repetidas da lista anterior), completando-se o valor total \(\mathcal{N}(15)= 12\):

Se \(\beta=9\), o único divisor primo de \(\beta - 1 = 8\) é \(2\). Com este primo, o processo fornece todas as fracções canceláveis \(\frac{ca}{bc}\) na base \(9\) através das expressões \[\begin{eqnarray*} c&=&2m, \quad 1\leq m \leq 4\\ a &=& c-\ell, \quad 1\leq \ell < c \\ b &=& \frac{ca}{a + 9\,\ell}, \quad \text{se este quociente é inteiro,} \end{eqnarray*}\] completando-se o valor total \(\mathcal{N}(9)= 4\):

A figura seguinte representa numa escala logarítmica, no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio e a partir do raio horizontal da esquerda, as fracções canceláveis não triviais (amarelo), as canceláveis triviais (laranja), as susceptíveis de cancelamento³ mas não canceláveis e as não susceptíveis de cancelamento (azul). Os dados estão indicados para bases de \(2\) a \(50\), por ordem crescente do raio.

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