ATRACTOR

Seja agora \(\require{cancel} \beta\) um natural composto tal que \(\beta - 1\) é primo. A igualdade \[(\beta c + a) b = (\beta b + c) a\] pode reescrever-se como \[ ab(\beta - 1) = (\beta b -a)c.\] Uma vez que \(\beta -1\) é primo, tem de dividir \(\beta b - a\) ou \(c\).

No primeiro caso, como \[\beta b - a=(\beta-1)b +(b-a)\] devemos ter \(\beta -1\) divisor de \(b-a\); mas o valor absoluto de \(b-a\) verifica \(0 \leq |b-a|< \beta -1\); logo \(a=b\) e a fracção é trivial.

No segundo caso, devemos ter \[c = \beta - 1\] e a equação acima reduz-se a \(ab=\beta b - a\), ou seja, \[a = (\beta-a)b.\] Então \(\beta - a\neq 1\) (porque \(a \neq b\) ), \(\beta - a \neq \beta\) (porque \(a \neq 0\)) e \[ (\beta - a)(b+1) = (\beta -a) b + (\beta -a) = a + (\beta -a) = \beta.\] Consequentemente, \(\beta - a\) é um divisor próprio de \(\beta\) e \[b=\frac{\beta}{\beta-a} - 1.\]

Concluímos deste modo que \(\frac{\cancel{c}a}{b \cancel{c}}\) é não trivial e cancelável na base \(\beta\) se e só se existe um divisor \( 1< d < \beta\) de \(\beta\) tal que \[a = \beta - d, \quad b=\frac{\beta}{d} - 1, \quad c=\beta - 1.\]

Em resumo, quando \(\beta\) é um natural composto e \(\beta-1\) é primo, estas e as suas recíprocas são as únicas fracções não triviais em que o cancelamento é válido. E, portanto, para estes valores de \(\beta\), sabemos exactamente quantas fracções canceláveis existem nessa base: tantas quantas os divisores próprios da base \(\beta\).

O grafo seguinte mostra todas essas fracções para a base \(24\).