ATRACTOR

Já vimos que, se \(\beta\) é composto, existem frações canceláveis não triviais, que se podem obter a partir da fórmula \[ \frac{\beta-1\,\,\,\beta - d}{\frac{\beta}{d}-1\,\,\, \beta -1},\] onde \(d\) é um divisor próprio de \(\beta\).

Vimos também que se \(\beta-1\) for igualmente composto, para que a fracção \(\frac{c a}{b c}\) seja cancelável têm de existir um primo \(p\), divisor comum de \(\beta -1\) e de \(c\), e naturais \(1\leq m \leq \frac{\beta - 1}{p}\) e \(1 \leq \ell < c\) tais que \(\frac{ca}{a + \beta\,\ell}\) é um número natural, e \[\begin{eqnarray*} c &=& pm\\ a &=& c-\ell \\ b &=& \frac{ca}{a + \beta\ell}. \end{eqnarray*}\]

A escrita anterior de \(a,b,c\) a partir dos dados \(p, m, \ell\) não é, em geral, única; mas engloba as fracções obtidas directamente pelos divisores próprios de \(\beta\).

A aplicação interactiva seguinte constrói para cada base composta \(\beta\) entre 2 e 100 um grafo ilustrando a forma como se obtêm as fracções canceláveis não triviais com 2 algarismos nessa base.

Quando \(\beta-1\) é composto, é possível escolher se se quer obter a partir dos valores de \(p, m, \ell\) todas as fracções canceláveis não triviais ou apenas as que não se podem obter directamente a partir dos divisores próprios de \(\beta\). Em qualquer dos casos, quando a escrita anterior de \(a,b,c\) a partir dos dados \(p, m, \ell\) não é única, pode-se ainda optar por visualizar todas as formas possíveis de obter uma dada fracção cancelável a partir dos valores de \(p, m, \ell\) ou apenas uma dessas formas.