ATRACTOR

Passemos agora às fracções \(\frac{xyz}{rst}\) numa base \(\require{cancel} \beta\) fixada que sejam susceptíveis de cancelamento. Há agora mais possibilidades a considerar, seja no número de algarismos a cancelar, seja na posição deles no numerador e denominador da fracção. Restringir-nos-emos a fracções \(\frac{\cancel{c}yz}{r\cancel{c}t}\), \(\frac{\cancel{c}yz}{rs\cancel{c}}\), \(\frac{x\cancel{c}z}{rs\cancel{c}}\) e \(\frac{x\cancel{c}z}{r\cancel{c}t}\).

Da lista de fracções não triviais canceláveis nas bases \(\beta = 2,3,\ldots,12\), podemos conjecturar, e depois provar, algumas propriedades sobre estas fracções em qualquer base. Mais uma vez não se incluem na listagem as fracções recíprocas. E, por serem em número muito elevado, para \(\beta \geq 3\) não se indicam, no conjunto de fracções canceláveis \(\frac{x\,\cancel{c}\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\), as que no numerador têm \(c=0\) e \(z=0\).

No que se segue, o símbolo - indica que não há fracções canceláveis não triviais desse tipo; pelo contrário, o símbolo \(*\) representa um conjunto grande de fracções canceláveis não triviais, que, dada a sua dimensão, optámos por não apresentar no texto. Se o leitor desejar pode usar uma aplicação interactiva (basta para tal clicar no link que surge ao lado do símbolo \(*\)) e ver quais são essas fracções.

Para \(\beta = 6\):

Fracções canceláveis \(\frac{\cancel{c}\,y\,z}{r\,\cancel{c}\,t}\):

\[\frac{112}{414}\] \[\frac{220}{121}, \,\frac{330}{132}, \,\frac{330}{231}, \,\frac{424}{140}, \,\frac{440}{143},\,\frac{440}{242},\,\frac{440}{341}\] \[\frac{530}{150}, \,\frac{533}{151}, \,\frac{540}{152}, \,\frac{540}{250}, \,\frac{542}{251}, \,\frac{543}{153},\,\frac{543}{350},\,\frac{544}{252}\] \[\frac{550}{154}, \,\frac{550}{253}, \,\frac{550}{352}, \,\frac{550}{451}, \,\frac{552}{254}, \,\frac{553}{155},\,\frac{553}{354},\,\frac{554}{255}.\]

Fracções canceláveis \(\frac{\cancel{c}\,y\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\):

\[\frac{443}{204},\,\frac{552}{125}, \,\frac{533}{155}, \,\frac{554}{255}.\]

Fracções canceláveis \(\frac{x\,\cancel{c}\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\):

\[\frac{254}{125},\,\frac{353}{115}, \,\frac{354}{155}, \,\frac{443}{204},\,\frac{453}{135},\,\frac{454}{225}, \,\frac{532}{203},\,\frac{552}{125},\,\frac{553}{155},\,\frac{554}{255}.\]

Fracções canceláveis \(\frac{x\cancel{c}z}{r\cancel{c}t}\): \(*\) Ver na aplicação interactiva

Para \(\beta = 7\):

Fracções canceláveis \(\frac{\cancel{c}\,y\,z}{r\,\cancel{c}\,t}\):

\[\frac{220}{121},\,\frac{230}{125}, \,\frac{330}{132}, \,\frac{330}{231},\,\frac{340}{135},\,\frac{340}{236}, \,\frac{440}{143},\,\frac{440}{242},\,\frac{440}{341}, \,\frac{450}{246}\] \[\frac{550}{154},\,\frac{550}{253},\,\frac{550}{352},\,\frac{550}{451}\] \[ \frac{640}{161},\,\frac{650}{163}, \,\frac{650}{261}, \,\frac{660}{165},\,\frac{660}{264},\,\frac{660}{363},\,\frac{660}{462}, \,\frac{660}{561}.\]

Fracções canceláveis \(\frac{\cancel{c}\,y\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\): -

Fracções canceláveis \(\frac{x\,\cancel{c}\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\):

\[\frac{365}{166},\,\frac{432}{133}, \,\frac{521}{122}, \,\frac{564}{166},\,\frac{565}{266},\,\frac{642}{144},\,\frac{643}{244}.\]

Fracções canceláveis \(\frac{x\cancel{c}z}{r\cancel{c}t}\): \(*\) Ver na aplicação interactiva

Para \(\beta = 8\):

Fracções canceláveis \(\frac{\cancel{c}\,y\,z}{r\,\cancel{c}\,t}\):

\[\frac{112}{515}\] \[\frac{220}{121},\,\frac{224}{627},\, \frac{330}{132},\,\frac{330}{231},\, \frac{344}{137},\,\frac{440}{143},\, \frac{440}{242},\,\frac{440}{341},\, \frac{536}{151}\] \[\frac{550}{154},\, \frac{550}{253},\,\frac{550}{352},\, \frac{550}{451},\,\frac{562}{157},\, \frac{660}{165},\,\frac{660}{264},\,\frac{660}{363},\,\frac{660}{462},\,\frac{660}{561}\] \[\frac{740}{170},\,\frac{744}{171},\, \frac{750}{172},\,\frac{754}{173},\,\frac{760}{174},\,\frac{760}{272},\,\frac{760}{370},\,\frac{762}{371},\,\frac{764}{175}, \,\frac{764}{372}\] \[\frac{766}{373},\,\frac{770}{176},\,\frac{770}{275},\,\frac{770}{374},\,\frac{770}{473},\,\frac{770}{572},\,\frac{770}{671},\,\frac{772}{375},\,\frac{774}{177},\,\frac{774}{376}, \,\frac{774}{575},\,\frac{776}{377}.\]

Fracções canceláveis \(\frac{\cancel{c}\,y\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\):

\[ \frac{774}{177},\, \frac{776}{377}.\]

Fracções canceláveis \(\frac{x\,\cancel{c}\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\):

\[\frac{276}{137},\, \frac{376}{177},\,\frac{454}{175},\, \frac{474}{117},\,\frac{476}{237},\, \frac{574}{137},\,\frac{575}{177},\, \frac{576}{277},\,\frac{632}{173},\, \frac{674}{157},\,\frac{676}{337}\] \[\frac{754}{315},\,\frac{764}{226},\, \frac{774}{177},\,\frac{776}{377}. \]

Fracções canceláveis \(\frac{x\cancel{c}z}{r\cancel{c}t}\): \(*\) Ver na aplicação interactiva

Registemos então algumas dessas propriedades.

P1. Há apenas uma fracção cancelável não trivial em base \(\beta=2\).

De facto, uma fracção \(\frac{\cancel{c}\,y\,z}{r\,\cancel{c}\,t}\) na base \(2\) com três algarismos no numerador e no denominador tem de ser da forma \(\frac{\cancel{1}yz}{1\cancel{1}t}\); e permite o cancelamento se e só se \(z=t=0\) e \(y=1\), o que reduz a solução à fracção \(\frac{\cancel{1}\,1\,0}{1\,\cancel{1}\,0}\). Analogamente, se conclui que não existem, nesta base, fracções \(\frac{\cancel{c}\,y\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\) canceláveis não triviais. Se considerarmos fracções \(\frac{x\,\cancel{c}\,z}{r\,s\,\cancel{c}}\), obtemos apenas \(\frac{100}{110}\). Finalmente, cálculos simples confirmam que, também entre as fracções \(\frac{x\,\cancel{c}\,z}{r\,\cancel{c}\,t}\), não há canceláveis não triviais.

P2. Existe uma fracção não trivial que é cancelável em todas as bases \(\beta \geq 3\).

De facto, a fracção \(\frac{220}{121}\) permite o cancelamento do primeiro algarismo no numerador com o segundo no denominador em qualquer base \(\beta \geq 3\); e as fracções \(\frac{330}{132}\) e \(\frac{330}{231}\) são canceláveis em qualquer base \(\beta > 3\), uma vez que \[\begin{eqnarray*} (2\beta^2 + 2\beta)(\beta + 1)&=&(\beta^2 + 2\beta + 1)2\beta \\ (3\beta^2 + 3\beta)(\beta + 2)&=&(\beta^2 + 3\beta + 2)3\beta\\ (3\beta^2 + 3\beta)(2\beta + 1)&=&(2\beta^2 + 3\beta + 1)3\beta \end{eqnarray*}\] logo \(\frac{\cancel{2}\,2\,0}{1\,\cancel{2}\,1}=\frac{20}{11}\), \(\frac{\cancel{3}\,3\,0}{1\,\cancel{3}\,2}=\frac{30}{12}\) e \(\frac{\cancel{3}\,3\,0}{2\,\cancel{3}\,1}= \frac{30}{21}\).

Em particular, concluìmos que, para toda a base \(\beta \geq 3\), há fracções canceláveis não triviais.

P3. Para qualquer base \(\beta \geq 5\), são canceláveis (no primeiro algarismo no numerador com o segundo no denominador) as fracções \[\frac{\cancel{4}\,4\,0}{1\,\cancel{4}\,3},\quad \frac{\cancel{4}\,4\,0}{2\,\cancel{4}\,2}, \quad \frac{\cancel{4}\,4\,0}{3\,\cancel{4}\,1}.\]

Para qualquer base \(\beta \geq 6\), são canceláveis (no primeiro algarismo no numerador com o segundo no denominador) as fracções \[\frac{\cancel{5}\,\,5\,\,0}{1\,\,\cancel{5}\,\,4}, \quad\frac{\cancel{5}\,\,5\,\,0}{2\,\,\cancel{5}\,\,3}, \quad \frac{\cancel{5}\,\,5\,\,0}{3\,\,\cancel{5}\,\,2}, \quad \frac{\cancel{5}\,\,5\,\,0}{4\,\,\cancel{5}\,\,1}.\]

Para qualquer base \(\beta \geq 7\), são canceláveis (no primeiro algarismo no numerador com o segundo no denominador) as fracções \[\frac{\cancel{6}\,6\,0}{1\,\cancel{6}\,5}, \quad\frac{\cancel{6}\,6\,0}{2\,\cancel{6}\,4}, \quad\frac{\cancel{6}\,6\,0}{3\,\cancel{6}\,3}, \quad\frac{\cancel{6}\,6\,0}{4\,\cancel{6}\,2}, \quad\frac{\cancel{6}\,6\,0}{5\,\cancel{6}\,1}.\]

Mais geralmente, para qualquer base \(\beta \geq n\), são canceláveis (no primeiro algarismo no numerador com o segundo no denominador) as fracções \[\frac{\cancel{n-1}\,\,n-1\,\,0}{1\,\,\cancel{n-1}\,\,n-2}, \quad\frac{\cancel{n-1}\,\,n-1\,\,0}{2\,\,\cancel{n-1}\,\,n-3}, \quad \frac{\cancel{n-1}\,\,n-1\,\,0}{3\,\,\cancel{n-1}\,\,n-4}, \quad \ldots, \quad \frac{\cancel{n-1}\,\,n-1\,\,0}{n-2\,\,\cancel{n-1}\,\,1}.\]

P4. Para qualquer base par \(\beta \geq 4\), a fracção \(\frac{\cancel{1}\,\,\,1\,\,\,2}{\frac{\beta}{2} + 1 \,\,\,\cancel{1}\,\,\,\frac{\beta}{2} + 1}\) é cancelável.

P5. Para qualquer base ímpar \(\beta \geq 5\), a fracção \(\frac{\cancel{2}\,\,\,3\,\,\,0}{1\,\,\, \cancel{2}\,\,\, \frac{\beta+3}{2}}\) é cancelável.

P6. Para qualquer base \(\beta \geq 4\), a fracção \(\frac{3\,\,\,\cancel{\beta - 1}\,\,\,\beta - 2}{1\,\,\beta - 1 \,\, \cancel{\beta -1}}\) é cancelável.

P7. Se \(\beta\) é primo, não existem fracções \(\frac{\cancel{c}\,\,y\,\,z}{r\,\,s\,\, \cancel{c}}\) na base \(\beta\) que sejam não triviais e canceláveis.