Reciclando o erro 
\(\beta-1\) composto
Consideremos agora um natural composto \(\beta\) tal que \(\beta - 1\) também é composto. Neste caso, há outras fracções canceláveis além das obtidas pelo processo descrito na secção anterior. De facto, veja-se a tabela e o gráfico seguintes que indicam, para alguns valores de \(\beta\), o número total \(\mathcal{N}(\beta)\) de fracções não triviais canceláveis na base \(\beta\) e as suas recíprocas:
- se \(\beta = 21\), que tem apenas dois divisores próprios, temos \(\mathcal{N}(21)=20\);
- se \(\beta = 49\), que tem apenas um divisor próprio, obtemos \(\mathcal{N}(49)=20\).
| \(\beta\) | \(\beta-1\) | \(\sharp\,\{d\in \mathbb{N}: 1<d<\beta;\, d\,|\,\beta\}\) | \(\mathcal{N}(\beta)\) |
|---|---|---|---|
| \(9\) | \(8\) | \(1\) | \(4\) |
| \(10\) | \(9\) | \(2\) | \(8\) |
| \(15\) | \(14\) | \(2\) | \(12\) |
| \(16\) | \(15\) | \(3\) | \(14\) |
| \(21\) | \(20\) | \(2\) | \(20\) |
| \(22\) | \(21\) | \(2\) | \(12\) |
| \(25\) | \(24\) | \(1\) | \(12\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(36\) | \(35\) | \(7\) | \(42\) |
| \(49\) | \(48\) | \(1\) | \(20\) |
| \(64\) | \(63\) | \(5\) | \(42\) |
| \(100\) | \(99\) | \(7\) | \(74\) |
Fixemos um natural \(\beta\) composto tal que \(\beta -1\) também é composto. Comecemos por observar que, se \(\beta\) for um natural par, podemos considerar divisores ímpares \(1<D_1<\beta-1\) e \(1<D_2<\beta-1 \) de \(\beta -1\) tais que \(\beta - 1 = D_1 D_2\). Então os algarismos na base \(\beta\) definidos por \[ a=\frac{\beta}{2}, \quad b=\frac{D_2+1}{2}, \quad c=\frac{D_1(D_2+1)}{2}\] formam uma fracção \(\frac{ca}{bc}\) cancelável e \[c=\frac{D_1(D_2+1)}{2} = \frac{D_1D_2 + D_1}{2} = \frac{\beta -1 + D_1}{2} < \frac{\beta -1 + \beta -1}{2}=\beta -1.\] E note-se que, se \(D_1 \neq D_2\), podemos analogamente formar a fracção \(\frac{\hat{c}\,a}{\hat{b}\,\hat{c}}\), onde \[\hat{b}=\frac{D_1+1}{2} \quad \text{e} \quad \hat{c}=\frac{(D_1 + 1)D_2}{2}\] obtendo-se nova fracção cancelável.
Por exemplo, para \(\beta = 16\) já conhecemos, da secção anterior, três fracções canceláveis (nomeadamente, \(\frac{15\,\,\,14}{7\,\,\, 15}\), \(\frac{15\,\,\,12}{3\,\,\, 15}\) e \(\frac{15\,\,\,8}{1\,\,\, 15}\)). Uma vez que \(\beta - 1=3 \times 5\), se \(D_1=3\) e \(D_2=5\), agora encontramos mais duas fracções canceláveis \[\frac{98}{39} \quad \text{e} \quad \frac{10 \,\,8}{2 \,\,10}\] (e as correspondentes recíprocas). E, como a última fracção desta lista tem algarismos pares, também é cancelável na base \(16\) a fracção \(\frac{54}{15}\).
