ATRACTOR

O problema que resolvemos na secção anterior pode colocar-se em qualquer outra base que não a decimal. Observe-se primeiro que, se uma fracção não trivial \(\frac{ca}{bc}\) é cancelável numa base, sendo \(a,b \in \{1,2,\ldots,\beta-1\}\) e \(c \in \{0,1,2,\ldots,\beta-1\}\), então não o é em nenhuma outra base. De facto, se \(\frac{ca}{bc}\) fosse uma fracção cancelável nas bases \(\beta\) e \(\gamma\), então teríamos \[(\beta c + a)b = (\beta b + c)a \quad \text{e} \quad (\gamma c + a)b = (\gamma b + c)a\] logo \[\beta bc - \beta ab = ac -ab = \gamma bc - \gamma ab\] e, portanto, \[\beta (c-a) = \gamma(c-a)\] e, como \(a \neq c\) porque a fracção não é trivial, devemos ter \(\beta = \gamma\).

Fixemos um natural \(\beta \geq 2\) e consideremos fracções \(\frac{ca}{bc}\) em que os algarismos \(a,b,c\) são os permitidos em base \(\beta\) e tais que \(a,b \in \{1,\ldots,\beta-1\}\) e \( c \in \{0,1, \ldots,\beta-1\}\).