ATRACTOR

Dada uma fracção \( \require{cancel} \frac{ca}{bc}\), com \(a,b \in \{1,\ldots,9\}\) e \(c \in \{0,1, \ldots,9\}\), a igualdade \(\frac{\cancel{c}a}{b\cancel{c}}=\frac{a}{b}\) é equivalente a \((10 c + a)b = (10 b + c)a\), ou seja, \[10 bc = (9 b + c)a. \;\;\; \;\;\; \;\;\; (1)\]

Note-se que, se \(c = 0\), então devemos ter \(a\) ou \(b\) igual a \(0\), valores que não interessam. Prossigamos, portanto, com \(c \neq 0\). Seja \(d\) o máximo divisor comum de \(c\) e \(9\); então \(d \in \{1,3,9\}\). Analisemos cada uma destas possibilidades.

Quando \(d = 9\), tem-se \(c = 9\) e a condição anterior reduz-se a \(10 \times 9b = (9b + 9)a\), isto é, \(10 b = (b + 1)a\). Como \(b\) e \(b + 1\) são primos entre si, o natural \(b + 1\) tem de dividir \(10\); logo \(b \in \{1, 4, 9\}\). Desse modo, tem-se \[\begin{eqnarray*} b=1 &\Rightarrow& a=5 \quad \Rightarrow \quad \frac{ca}{bc}=\frac{95}{19}.\\ b=4 &\Rightarrow& a=8 \quad \Rightarrow \quad \frac{ca}{bc}=\frac{98}{49}.\\ b=9 &\Rightarrow& a=9 \quad \Rightarrow \quad \frac{ca}{bc}=\frac{99}{99}.\\ \end{eqnarray*}\]

Encontrámos duas fracções não triviais onde o cancelamento é válido: \(\frac{95}{19}\) e \(\frac{98}{49}\).

Se \(d = 3\), temos \(c \in \{3, 6\}\). Quando \(c = 3\), a condição (1) pode reescrever-se como \(10 b = (3 b + 1)a\) e, dado que \(b\) e \(3b + 1\) são primos entre si, concluímos que \(3b + 1\) tem de dividir \(10\), logo \(3b + 1 \in \{1, 2, 5, 10\}\). Mas, de facto, apenas serve \(b = 3\). Consequentemente, \(a = 3\) e a fracção é trivial: \(\frac{33}{33}\).

No caso em que \(d = 3\) e \(c = 6\), a condição (1) é agora \[20 b = (3 b + 2)a. \;\;\; \;\;\; \;\;\; (2)\] Além disso, o máximo divisor comum de \(b\) e \(3b + 2\) é \(1\) ou \(2\). Sendo \(1\), concluímos que \(3b + 2\) tem de dividir \(20\) e, portanto, devemos ter \(b = 1\) ou \(b = 6\). Então, \[\begin{eqnarray*} b=1 &\Rightarrow& a=4 \quad \Rightarrow \quad \frac{ca}{bc}=\frac{64}{16}.\\ b=6 &\Rightarrow& a=6 \quad \Rightarrow \quad \frac{ca}{bc}=\frac{66}{66}. \end{eqnarray*}\]

Se, pelo contrário, o máximo divisor comum de \(b\) e \(3b + 2\) for \(2\), então \(b\) é par, digamos \(b = 2k\), para algum natural \(k\) e a condição (2) reescreve-se como \(20 k = (3k + 1)a\). Por \(k\) e \(3k + 1\) serem primos entre si, desta igualdade resulta que \(3k + 1\) divide \(20\), logo \(k = 1\) ou \(k = 3\). No primeiro caso, obtemos \(b = 2\) e \(a = 5\), logo \(\frac{ca}{bc}=\frac{65}{26}\); no segundo caso, \(b = 6\), \(a = 6\) e \(\frac{ca}{bc}=\frac{66}{66}\).

Finalmente, quando \(d = 1\), temos \(c \in \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\). Para lidarmos ao mesmo tempo com todos os valores possíveis de \(c\), é melhor reescrever a igualdade (1) como \(9 ab = (10 b - a)c\). Então, por ser \(d = 1\), o inteiro \(9\) tem de dividir \(10 b - a\). Mas como \(10 b - a = 9 b + (b - a)\), afinal \(9\) tem de dividir \(b - a\). Uma vez que \(a, b \in \{1, . . ., 9\}\), devemos ter \(a = b\) e, portanto, \(b = c\). Logo só obtemos fracções triviais.

Uma análise análoga à que fizemos anteriormente, desta vez para as fracções \(\frac{a\cancel{c}}{\cancel{c}b}\), conduz, como esperado, aos recíprocos das fracções que surgiram nos dois casos precedentes. Em resumo: além dos casos triviais, as fracções na base \(10\) com dois algarismos no numerador e no denominador e que permitem o cancelamento de algarismos iguais são precisamente \[\frac{95}{19}, \quad \frac{98}{49}, \quad \frac{64}{16}, \quad \frac{65}{26}\] e as recíprocas \(\frac{19}{95}, \frac{49}{98}, \frac{16}{64}, \frac{26}{65}\).