Teoremas Coloridos 
Resultados 9 e 10
Note-se que, se \(n = 2m\) para algum natural \(m > 1\), então \(d_n\) tem de dividir \(\binom{2m}{2k}\) para todo o \(1 \leq k \leq m-1\), logo \(d_n\) tem de ser um divisor da soma \[\begin{equation}\label{eq:soma-par} \binom{2m}{2}+\binom{2m}{4}+\cdots + \binom{2m}{2m-2} = 2^{2m} -2^{2m-1}-2 = 2\,(2^{2m-2}-1). \end{equation}\;\;\; \;\;\; \;\;\; (9)\] E não pode ultrapassar \(\binom{n}{2}= \frac{n(n-1)}{2}\). Além disso, se \(n\) não é uma potência de \(2\), então pelas igualdades (4) e (7) devemos ter \(d_n\) ímpar. Consequentemente, se \(n\) é par mas não é uma potência de \(2\), uma condição necessária para se ter \(d_n = n-1\) é que \(n-1\) divida \(2^{n-2}-1\). * Esta não é, porém, uma condição suficiente: um dos módulos interactivos que pode aqui utilizar listou os naturais até \(7000\) que são pares mas não são potências de \(2\) e tais que \(n-1\) divide \(2^{n-2}-1\) mas \(d_n \neq n-1\), e obteve dezassete valores de \(n\): \[\begin{eqnarray}\label{eq:lista} && 342,\, 562,\, 646,\, 1106,\, 1388,\, 1730,\, 1906,\, 2466,\\ && 2702,\, 2822,\, 3278,\, 4034,\, 4370,\, 4372,\, 4682,\, 5462,\, 6602. \nonumber \end{eqnarray}\;\;\; \;\;\; \;\;\; (10)\] Para todos eles \(d_n=1\). Procuremos uma justificação para este padrão.
