ATRACTOR

2º caso: \(\quad n-1\) não é primo.

Comecemos por notar que, como \(q\) divide \(n-1\), existem naturais \(Q\) e \(\alpha\) tais que \(n-1 = q^\alpha\,Q\). Além disso, como \(n-1\) não é primo, se \(Q=1\) então \(\alpha > 1\). Analisemos separadamente cada uma destas possibilidades.

(2.1) Se \(Q>1\), então o natural par \(q^\alpha + 1\) verifica as desigualdades \(1 < q^\alpha + 1 < n-1\) já que \[n > 2 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad q^\alpha + 1 = \frac{n-1}{Q} + 1 \leq \frac{n-1}{2} + 1 = \frac{n+1}{2} < n-1.\] Assim sendo, podemos considerar a soma \[\binom{n}{q^\alpha +1} = \binom{n-1}{q^\alpha} + \binom{n-1}{q^\alpha + 1}\] recordando que

• por (8) e por se ter \(\text{mdc}(q^\alpha + 1, q) = 1\), sabemos que o primo \(q\) divide \(\binom{n-1}{q^\alpha + 1}\);
• pelo Teorema de Legendre, \(\nu_q((n-1)!) - \nu_q((q^\alpha)!) - \nu_q((n-1-q^\alpha)!)=0\) e, portanto, \(q\) não divide \(\binom{n-1}{q^\alpha}\).

Consequentemente, \(q\) não divide \(\binom{n}{q^\alpha +1}\) e devemos ter \(d_n=1\). É precisamente isto que acontece nos valores de \(n\) da lista (10). Por exemplo, quando \(n=342\), tem-se \(n-1=341 = 11 \times 31\), \(q=11\) não divide \(\binom{342}{12}\) e \(q=31\) não divide \(\binom{342}{32}\).

(2.2) Se \(Q=1\), então \(n-1=q^\alpha\) e \(\alpha > 1\). Neste caso, pelo que deduzimos anteriormente, \(d_n\) tem de ser uma potência de \(q\). Além disso, por (4), \(q\) divide \(\binom{q^\alpha}{j}\) para todo o \(1 \leq j \leq q^\alpha - 1\). Logo, \(q\) divide a soma \[\binom{n}{j} = \binom{q^\alpha}{j} + \binom{q^\alpha}{j-1}\] para todo o \(2 \leq j \leq q^\alpha - 1\). O que implica que \(d_n \geq q\). Por outro lado, \(q^{\alpha - 1} + 1\) é par (e, portanto, \(\text{mdc}(q^{\alpha -1} + 1,n)>1\)), \(q^{\alpha -1} + 1 < q^\alpha\) porque \(\alpha > 1\) e \(q \geq 3\), e \(q^2\) não divide \(\binom{n}{q^{\alpha-1}+1}\) uma vez que

• como \(\alpha > 1\) e \(\text{mdc}(q^{\alpha -1}+1, q^\alpha)=1\), a propriedade (8) indica que \(q^\alpha\) divide \(\binom{q^\alpha}{q^{\alpha - 1}+1}\), logo \(q^2\) também divide;
• pelo Teorema de Legendre \(q^2\) não divide \(\binom{q^\alpha}{q^{\alpha-1}}\).

Daqui resulta que \(q^2\) não divide \(\binom{n}{q^{\alpha-1}+1}=\binom{q^\alpha}{q^{\alpha-1}+1} + \binom{q^\alpha}{q^{\alpha-1}}\), e portanto \(d_n=q\). Por exemplo, \(d_{10}=3\), \(d_{26}=5\), \(d_{50}=7\), \(d_{122}=11\), \(d_{170}=13\).

Em resumo: Se \(n > 2\) é par mas não é uma potência de \(2\), então \(d_n\) é ímpar e

• \(d_n = q,\,\) se \(n-1\) é uma potência do primo \(q\);
• \(d_n = 1,\,\) caso contrário.

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