Teoremas Coloridos 
Resultado 6
A análise das linhas \(n=6, 10, 12\) do triângulo de Pascal (parcialmente reproduzido na figura 3)
Fig 3
revela mais informação interessante: ainda que para estes valores de \(n\) o máximo divisor comum das entradas interiores seja \(1\), todas as entradas interiores de índice primo com \(n\) são divisíveis por \(n\); e, para cada par de entradas interiores, consecutivas ou não, o máximo divisor comum delas é estritamente maior do que \(1\). É, portanto, natural conjecturar que, para cada natural \(n \geq 2\), \[\begin{equation}\label{eq:Albree} \text{mdc}\,\Big\{\binom{n}{j}\colon \, 1 \leq j \leq n-1 \,\text{ e } \, \text{mdc}(j,n) = 1\Big\} = n \end{equation} \;\;\; \;\;\; \;\;\; (6)\] e \[\text{mdc}\,\Big\{\binom{n}{i}, \binom{n}{j} \colon \, 1 \leq i,j \leq n-1 \Big\} > 1.\] Provemos que assim é. Fixemos \(n \in \mathbb{N}\) e consideremos o conjunto \[\mathcal{E}_n :=\Big\{\binom{n}{j}\colon \, 1 \leq j \leq n-1 \,\text{ e } \, \text{mdc}(j,n) = 1\Big\}\] e denotemos por \(D_n\) o máximo divisor comum dos elementos de \(\mathcal{E}_n\). Como \(\binom{n}{1}=n \in \mathcal{E}_n\), o natural \(D_n\) tem de dividir \(n\), logo \(D_n \leq n\). Além disso, se \(j \in \{1,2,\cdots,n\}\), \[j \,\binom{n}{j} = j \,\frac{n!}{j! \,(n-j)!} = n \,\frac{(n-1)!}{(j-1)! \,(n-1-(j-1))!} = n \,\binom{n-1}{j-1}\] e, portanto, \(n\) divide \(j \,\binom{n}{j}\). Mas, se \(n\) e \(j\) são primos entre si, \(n\) tem de dividir \(\binom{n}{j}\). Consequentemente, \(n\) divide \(D_n\), o que, sendo \(D_n \leq n\), só é possível se \(D_n = n\).
Quanto à segunda propriedade, uma vez que se tem a igualdade (3) basta considerar valores \(i,j \leq \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor\), garantindo-se assim que \(i+j\leq n\). Além disso, uma conta simples confirma que \[\binom{n}{i}\,\,\binom{n-i}{j}=\binom{n}{j}\,\,\binom{n-j}{i}.\] Se, para algum par \(1 \leq i,j \leq n-1\), os coeficientes \(\binom{n}{i}\) e \(\binom{n}{j}\) fossem primos entre si, \(\binom{n}{i}\) teria de dividir \(\binom{n-j}{i}\), o que não é possível porque \(\binom{n}{i}>\binom{n-j}{i}\).
