Teoremas Coloridos 
Resultados 4 e 5
E, de facto, designando por \(\text{mdc}\) o máximo divisor comum de uma lista de inteiros, se \(n \geq 2\) então \[\begin{equation}\label{teo:Ram} \text{mdc}\,\Big\{\binom{n}{j}\colon \, 1 \leq j \leq n-1\Big\}= \left\{\begin{array}{ll} p & \,\,\text{se existem um primo \(p\) e \(k \in \mathbb{N}\) tais que \(n=p^k\)} \\ \\ 1 & \,\,\text{caso contrário.} \end{array} \right. \end{equation} \;\;\; \;\;\; \;\;\; (4)\] A primeira prova desta propriedade é atribuída a B. Ram, e foi publicada em [1]. A generalização obtida em [2] afirma que, dados naturais \(n\) e \(s \leq n \), \[\begin{equation}\label{eq:Jordis} \text{mdc}\,\Big\{\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{s}\Big\} = \frac{n}{\text{mmc}\,\Big\{d \in \mathbb{N}\colon \,d \text{ divide } n \text{ e } d \leq s\Big\}}. \end{equation} \;\;\; \;\;\; \;\;\; (5)\] onde \(\text{mmc}\) designa o menor múltiplo comum.
