ATRACTOR

Este resultado indica qual é a maior potência de um primo fixado que divide um natural da forma \(n!\). Mais precisamente:

1. Fixado um primo \(p\), para cada natural \(n\) tem-se \[\nu_{p}(n!) = \sum_{i=1}^{\left\lfloor \log_{p}n \right\rfloor} \,\left\lfloor \frac{n}{p^{i}} \right\rfloor.\] Além disso, se a representação finita de \(n\) na base \(p\) é \[{c_{t}\,c_{t-1} \ldots c_{1}\,c_0}_{(p)}\] onde \(c_\ell \in \{0, 1, \cdots, p-1\}\) para todo o \(0 \leq \ell \leq t\), então \[\nu_{p}(n!)=\frac{n-\sum_{i=0}^{t}\,c_{i}}{p-1}.\]

2. Sejam \(p\) um primo e \(a\) um natural tal que \(a=A\,p^k\) e \(p\) não divide \(A\). Se \(b\) é um natural tal que \(b \leq p^{k}\) e tem representação na base \(p\) dada por \[b = s_v\, s_{v-1}\ldots s_{i}\,0 \ldots 0\,\,_{(p)}\] então \[\nu_{p}(a!) - \nu_{p}((a-b)!) - \nu_{p}(b!) = k-i.\]

3. Sejam \(p\) um primo e \(a\) um natural tal que \(a=A\,p^k\) e \(p\) não divide \(A\). Se \(b=p^k\), então \[\nu_{p}(a!) - \nu_{p}((a-b)!) - \nu_{p}(b!)=0.\]