Teoremas Coloridos 
Resultado 8
Por um argumento semelhante mostra-se que, para cada primo \(p\) e todo o natural \(m\), \[\begin{equation}\label{teo:Mendelsohn} \text{mdc}\,\Big\{\binom{pm}{j}\colon \, 1 \leq j \leq pm \,\text{ e } \, \text{mdc}(j,p) = 1\Big\} = p^{1 + \nu_p(m)} \end{equation}\;\;\; \;\;\; \;\;\; (8)\] sendo \(\nu_p(m) \in \mathbb{N}_0\) a maior potência de \(p\) que divide \(m\). Ou seja, as entradas em posição \(j\) que é primo com \(p\) da linha \(pm\) são divisíveis por \(p\), e até por uma potência maior de \(p\) se este primo dividir \(m\). Por exemplo, para \(n=6\), a tabela seguinte assinala a verde as entradas interiores na sexta linha que são divisíveis por \(2\), a magenta as divisíveis por \(3\) e a azul as divisíveis por \(5\).
Em particular, se \(n\) é uma potência \(p^k\) do primo \(p\) já sabemos que as entradas interiores da \(n-\)ésima linha são divisíveis por \(p\); vemos agora que, destas entradas, as de índice primo com \(p\) são divisíveis por \(p^k\), e portanto essas entradas são simultaneamente zero nos triângulos de Pascal módulo \(p,\,p^2, \cdots, \,p^k\).
Em [3] estabeleceu-se a seguinte generalização da fórmula (8): para quaisquer naturais \(m\) e \(q\), tem-se \[\text{mdc}\,\Big\{\binom{qm}{j}\colon \, 1 \leq j \leq qm \,\text{ e } \, \text{mdc }(j,q) = 1\Big\} = q \, \prod_{p\colon\,p\,\mid\,\text{mdc}(q,m)}\,p^{\nu_p(m)}\] sendo o produto feito com todos os primos \(p\) que dividem \(\text{mdc}(q,m)\). Pode conferir-se esta propriedade num exemplo como o da figura 5 que mostra, a vermelho, as entradas em posição \(j\) primo com \(4\) da linha \(24\) no triângulo de Pascal módulo \(8\).
Fig 5
