ATRACTOR

(B) \(\quad \text{mdc}\,\Big\{\binom{n}{i}, \binom{n}{j} \colon \, 1 \leq i,j \leq n-1 \Big\}\).

Já sabemos que este máximo divisor comum é maior do que \(1\), mas não como ele varia com \(n\), \(i\) e \(j\). Na figura 8 está o gráfico da função \[(n,j) \quad\mapsto \quad\text{mdc}\,\Big\{\binom{n}{j}, \binom{n}{j+1} \colon \, 1 \leq j \leq n-1\Big\}\] para naturais \(n\) entre \(4\) e \(10\).

Fig 8

(C) \(\quad \text{mdc}\,\Big\{\binom{n}{j}\colon \, r \leq j \leq s \Big\}.\)

Para naturais \(n \geq 4\), \(r \geq 2\) e \(s\) tais que \(2r \leq s \leq n\), o máximo divisor comum das entradas consecutivas da \(n-\)ésima linha do triângulo de Pascal entre as posições \(r\) e \(s\) é dado por \[\text{mdc}\Big\{\binom{n}{r},\ldots,\binom{n}{s}\Big\} \,\,= \,\,\prod_{k=0}^{r-1}\,\,\text{mdc}\Big\{\binom{n-k}{1},\ldots,\binom{n-k}{s} \Big\}\] (cf. [2]), podendo utilizar-se agora a igualdade (5) para obter cada factor do produto anterior. A figura 9 mostra a variação do máximo divisor comum \[(n,r) \quad \mapsto \quad \text{mdc}\,\Big\{\binom{n}{j}\colon \, r \leq j \leq 2r\Big\}\] quando \(5 \leq n \leq 12\), \(r \geq 2\) e \(2r < n\). Não é conhecida nenhuma fórmula para blocos gerais de entradas não consecutivas.

Fig 9

Página seguinte