Sucessões de Polígonos 
Outros processos
Vejamos outros processos de construção de novos polígonos, aplicados a um polígono inicial de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são \(x_i\), com \(i\in \{0,1,\ldots,n-1\}\)
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Trissecção: se, em vez de unirmos os pontos médios de cada lado do polígono, unirmos os pontos que dividem cada lado em dois segmentos, tendo o primeiro o dobro do comprimentro do segundo, obtemos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas por \[x'_i=\frac{x_i+2x_{i+1}}{3}\] onde \(x_n=x_0\).
Mais geralmente, se unirmos os pontos que dividem cada lado de um polígono de \(n\) lados em dois segmentos cujo comprimento é, respectivamente, \(p\) e \(1-p\) vezes maior do que o comprimento desse lado, com \(0 < p < 1\), obtemos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas por \[x'_i= (1-p) x_i+ p x_{i+1}\] onde \(x_n=x_0\). Para visualizar este processo, veja esta app.
Em vez de considerar os pontos médios dos lados do polígono, podemos considerar os pontos médios dos segmentos de recta que unem vértices alternados, ou seja, pontos de abcissas \(x_{i-1}\) e \(x_{i+1}\) (onde \(x_{-1}=x_{n-1}\) e \(x_n=x_0\)). Neste caso, obtemos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas por \[x'_i=\frac{x_{i-1}+x_{i+1}}{2}\] Para visualizar este processo, veja esta app.
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Se \(n\) for par, podemos considerar os pontos médios dos segmentos de recta que unem os vértices opostos. Mais geralmente, podemos unir os pontos que dividem cada uma dessas diagonais em dois segmentos cujo comprimento é, respectivamente, \(p\) e \(1-p\) vezes maior do que o comprimento dessa diagonal, com \(0 < p < 1\). Neste caso, sendo \(n=2m\), obtemos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas por \[x'_i= (1-p) x_i+ p x_{m+i}\] onde \(x_{n+i}=x_i\), para qualquer \(i\in\{0,1,\ldots,m-1\}\). Para visualizar este processo, veja esta app.
Em vez de considerar a média entre as abcissas de dois pontos consecutivos, podemos considerar a média entre as abcissas de três (ou mais) pontos consecutivos. Neste caso, obtemos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas por \[x'_i=\frac{x_i+x_{i+1}+x_{i+2}}{3}\] onde \(x_n=x_0\) e \(x_{n+1}=x_1\).
Nota: o último caso, quando aplicado a quadriláteros, é bastante semelhante ao da bissecção de triângulos. Se considerarmos \(x_m=\frac{x_0+x_1+x_2+x_3}{4}\), temos \[\begin{array}{ll} x'_0= & \frac{4}{3} x_m - \frac{1}{3} x_3\\ x'_1= & \frac{4}{3} x_m - \frac{1}{3} x_0\\ x'_2= & \frac{4}{3} x_m - \frac{1}{3} x_1\\ x'_3= & \frac{4}{3} x_m - \frac{1}{3} x_2 \end{array}\] ou seja, \[\begin{array}{ll} x'_0-x_m = - \frac{1}{3} (x_3-x_m)\\ x'_1-x_m = - \frac{1}{3} (x_0-x_m)\\ x'_2-x_m = - \frac{1}{3} (x_1-x_m)\\ x'_3-x_m = - \frac{1}{3} (x_2-x_m) \end{array}\] Isto significa que os novos pontos são obtidos a partir dos anteriores através de uma homotetia de razão \(-1/3\) e de centro num ponto \(G\), cujas coordenadas são dadas pela média aritmética entre cada uma das respectivas coordenadas dos quatro vértices do quadrilátero inicial. No caso de os vértices do quadrilátero serem pontos do espaço não complanares, eles podem ser vistos como vértices de um tetraedro. Assim, este processo conduz a uma sucessão encaixada de tetraedros no espaço, todos semelhantes entre si e com um tamanho cada vez menor, uma vez que a razão de semelhança tende para zero.
Para visualizar este processo, veja este applet.
