Sucessões de Polígonos 
Diagonais
Se, dado um polígono inicial de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são \(x_r\), com \(r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), unirmos os pontos médios das diagonais que unem os pontos de abcissas \(x_{r-1}\) e \(x_{r+1}\) (onde \(x_{-1}=x_{n-1}\) e \(x_n=x_0\), obtemos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas por \[x'_r\;=\;\frac{x_{r-1}+x_{r+1}}{2}\] Consideremos a representação de Fourier das abcissas \(x_r\), dada por \[x_r\;=\;\sum_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \left(P_j\cos\frac{2jr\pi}{n}+Q_j\sen\frac{2jr\pi}{n}\right) \] onde \(\lfloor n/2\rfloor=m\) representa a parte inteira de \(n/2\). Escrevendo o vector \((P_j,Q_j)\) na forma polar \((C_j\cos\theta_j,C_j\sen\theta_j)\), temos \[x_r\;=\;\sum_{j=0}^m C_j\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right) \] Então, vem \[\begin{array}{ll}x'_r & =\;\frac{x_{r-1}+x_{r+1}}{2}\;=\\ & =\;\frac{1}{2}\sum_{j=0}^m C_j\left(\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j-\frac{2j\pi}{n}\right)+ \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+ \frac{2j\pi}{n}\right)\right)\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m C_j \cos\left(\frac{2j\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{2j\pi}{n}-\theta_j\right) \end{array}\] e, mais geralmente, \[\begin{array}{ll}x_r^{(k)} & =\;\frac{x_{r-1}^{(k-1)}+x_{r+1}^{(k-1)}}{2}\;=\; \sum_{j=0}^m\cos^k\left(\frac{2j\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)\;=\\ & =\;X+\sum_{j=1}^m C_j \cos^k\left(\frac{2j\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right) \end{array}\] Se \(n\) é par, quando \(k\) tende para infinito todas as parcelas do somatório acima tendem para zero excepto a última, dada por \[C_m\cos^k\left(\frac{2m\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{2mr\pi}{n}-\theta_m\right)\;=\; C_m\cos^k\pi \cos(r\pi-0)\;=\; (-1)^{k+r} C_m \] pelo que podemos desprezá-las e fazer a seguinte aproximação: \[x_r^{(k)}\;\approx\;X+(-1)^{k+r} C_m \] para um valor de \(k\) elevado. Analogamente, temos \[y_r^{(k)}\;\approx\;Y+(-1)^{k+r} D_m \] e, considerando pontos no espaço, \[z_r^{(k)}\;\approx\;Z+(-1)^{k+r} E_m \] Assim, os pontos \(P_r^{(k)}=(x_r^{(k)},y_r^{(k)},z_r^{(k)})\) aproximam-se cada vez mais dos pontos \((X-C_m,Y-D_m,Z-E_m)\) e \((X+C_m,Y+D_m,Z+E_m)\) e os polígonos da sucessão aproximam-se cada vez mais dos polígonos obtidos unindo alternadamente os dois pontos dados, começando no ponto \((X+C_m,Y+D_m,Z+E_m)\) se \(k\) é par e no ponto \((X-C_m,Y-D_m,Z-E_m)\) se \(k\) é ímpar. Neste caso, a sucessão de polígonos não converge para um ponto, mas sim para um segmento de recta (eventualmente degenerado). Tal acontece porque nem todos os termos do somatório dado tendem para zero.
Se \(n\) é ímpar, quando \(k\) tende para infinito todas as parcelas do somatório tendem mais rapidamente para zero que a última, dada por \[C_m\cos^k\left(\frac{2m\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{2mr\pi}{n}-\theta_m\right)\;=\; C_m\cos^k\left(\frac{n-1}{n}\pi\right) \cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi-\theta_m\right) \] pelo que podemos fazer a seguinte aproximação: \[x_r^{(k)}\;\approx\;X+C_m\cos^k\left(\frac{n-1}{n}\pi\right) \cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi-\theta_m\right) \] para um valor de \(k\) elevado. Fazendo \(C=C_m\cos^k\left(\frac{n-1}{n}\pi\right)\), vem \[x_r^{(k)}\;\approx\;X+C\cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi-\theta_m\right) \] ou seja, \[x_r^{(k)}\;\approx\;X+P\cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi\right)+ Q\sen\left(\frac{n-1}{n}r\pi\right) \] onde \(P=C\cos\theta_m\) e \(Q=C\sen\theta_m\). Analogamente, temos \[y_r^{(k)}\;\approx\;Y+R\cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi\right)+ S\sen\left(\frac{n-1}{n}r\pi\right) \] e, considerando pontos no espaço, \[z_r^{(k)}\;\approx\;Z+T\cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi\right)+ U\sen\left(\frac{n-1}{n}r\pi\right) \] Assim, analogamente ao que acontecia no caso do hexágono e do pentágono, temos que os pontos \(P_r^{(k)}\) aproximam-se cada vez mais dos vértices de um polígono que se obtém aplicando uma função linear a um polígono de \(n\) lados centrado na origem, seguida de uma translação, estando este também inscrito numa elipse centrada em \((X,Y,Z)\). Para \(n > 3\), este polígono centrado na origem tem a forma de uma estrela, uma vez que os seus vértices fazem com a parte positiva do eixo dos \(xx\) ângulos que são múltiplos de \(\frac{n-1}{n}\pi\) e não de \(\frac{2\pi}{n}\), como acontecia no caso das construções anteriores. Como tal, o polígono obtido tem também ele próprio a forma de uma estrela, embora inscrita numa elipse.
Notemos também que \[x_r^{(k+1)}\;\approx\;X+C_m\cos^{k+1}\left(\frac{n-1}{n}\pi\right) \cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi-\theta_m\right)\] \[x_r^{(k+1)}-X\;\approx\;\cos\left(\frac{n-1}{n}\pi\right) C_m\cos^k\left(\frac{n-1}{n}\pi\right) \cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi-\theta_m\right) \] Mas, como \[x_r^{(k)}-X\;\approx\;C_m\cos^k\left(\frac{n-1}{n}\pi\right) \cos\left(\frac{n-1}{n}r\pi-\theta_m\right) \] vem \[x_r^{(k+1)}-X\;\approx\;\cos\left(\frac{n-1}{n}\pi\right) (x_r^{(k)}-X) \] Assim, os pontos que se obtém são, aproximadamente, os mesmos pontos que se obtém por uma homotetia de centro no centro de gravidade desse polígono e de razão \(\cos\left(\frac{n-1}{n}\pi\right)\), sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for o valor de \(k\) (note-se que, neste caso, a razão pode ser negativa).
