Sucessões de Polígonos 
Diagonais, n par
Se, dado um polígono inicial de \(n=2m\) lados cujas abcissas dos vértices são \(x_r\) com \(r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), tomarmos as diagonais que unem os vértices opostos e unirmos os pontos que dividem essas diagonais em dois segmentos cujo comprimento é, respectivamente, \(p\) e \(1-p\) vezes maior do que o comprimento dessa diagonal, com \(0 < p < 1\), obtemos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas por \[x'_r\;=\;(1-p)x_r+px_{m+r} \] onde \(x_{n+r}=x_r\) para qualquer \(r\in\{0,1,\ldots,m-1\}\). Consideremos a representação de Fourier das abcissas \(x_r\) dada por \[x_r\;=\;\sum_{j=0}^m \left(P_j\cos\frac{2jr\pi}{n}+Q_j\sen\frac{2jr\pi}{n}\right) \] Escrevendo o vector \((P_j,Q_j)\) na forma polar \((C_j\cos\theta_j,C_j\sen\theta_j)\), temos \[x_r\;=\;\sum_{j=0}^m C_j\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right) \] Então, vem \[\begin{array}{ll}x'_r & =\;(1-p)x_r+px_{m+r}\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m C_j \left((1-p)\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)+ p\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+ \frac{2jm\pi}{n}\right)\right)\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m C_j \left((1-p)\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)+ p\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+j\pi\right)\right)\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m C_j (1-p+(-1)^j p) \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m C_j d_j \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right) \end{array}\] onde \(d_j=1\) se \(j\) é par e \(d_j=1-2p\) se \(j\) é ímpar. Mais geralmente, vem \[x^{(k)}_r\;=\;(1-p)x_r^{(k-1)}+px_{m+r}^{(k-1)}\;=\; \sum_{j=0}^m C_j d_j^k \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right) \] Quando \(k\) tende para infinito, as parcelas de índice ímpar tendem para zero, pelo que podemos desprezá-las e fazer a seguinte aproximação: \[x^{(k)}_r\;\approx\;\sum_{i=0}^{\lfloor m/2\rfloor} C_{2i} \cos\left(\frac{4ir\pi}{n}-\theta_{2i}\right) \] para um valor de \(k\) elevado. Note-se que o somatório acima não depende de \(k\), isto é, os pontos da sucessão de polígonos aproximam-se cada vez mais de certos pontos fixos. Estes pontos são os vértices de um polígono de \(m\) lados cujas abcissas são dadas por \[x^\star_r\;=\;\sum_{j=0}^{\lfloor m/2\rfloor} C_j^\star \cos\left(\frac{4jr\pi}{n}-\theta_j^\star\right) \] onde \(C_j^\star=C_{2j}\) e \(\theta_j^\star=\theta_{2j}\). Note-se que \[\begin{array}{ll}\frac{x_r+x_{r+m}}{2}\\ & =\;\frac{1}{2}\sum_{j=0}^m C_j \left(\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)+ \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+ \frac{2jm\pi}{n}\right)\right)\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m \frac{C_j}{2} \left(\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)+ \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+j\pi\right)\right)\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m C_j \frac{1+(-1)^j}{2} \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)\;=\\ & =\;\sum_{i=0}{\lfloor m/2\rfloor} C_{2i} \cos\left(\frac{4ir\pi}{n}-\theta_{2i}\right)\;=\;x_r^\star \end{array}\] Logo, os vértices deste polígono de \(m\) lados são exactamente os pontos médios das diagonais consideradas neste método.
Note-se que a convergência para este polígono é tanto mais rápida quanto o valor \(1-2p\) estiver próximo de 0, ou seja, quanto o parâmetro \(p\) estiver próximo de 1/2 (se \(p=1/2\), então este polígono é atingido logo na primeira iteração).
