ATRACTOR

Normalmente, considera-se um polígono como sendo uma porção do plano finita e limitada exclusivamente por segmentos de recta (lados) que se intersectam apenas nos seus extremos (vértices), sendo cada vértice comum a exactamente dois lados. No entanto, um polígono pode também ser considerado como uma sequência finita \((P_0, P_1, P_2, \ldots, P_{n-1})\) de pontos no plano (ou, mais geralmente, no espaço) não necessariamente distintos, que se designam por vértices do polígono. Para melhor visualizar essa sequência, desenhamos segmentos de recta a unir os vértices consecutivos, ou seja, a unir os pontos \(P_i\), \(P_{i+1}\), com \(i\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), e onde \(P_0= P_n\), por convenção. Assim, podemos considerar como polígonos as seguintes figuras do plano:

A cada ponto \(P_i\) fazemos corresponder um par ordenado \((x_i,y_i\)) ou um terno ordenado \((x_i,y_i,z_i\)), conforme este seja um ponto do plano ou do espaço. Ao considerarmos o ponto médio entre os pontos \(P_i\) e \(P_{i+1}\) estamos a tomar um novo ponto, que designaremos por \(P'_i\) cujas coordenadas podem ser obtidas a partir das coordenadas dos pontos \(P_i\) e \(P_{i+1}\). Assim, ao ponto \(P'_i\) corresponderá um par ordenado \((x'_i,y'_i\)) ou um terno ordenado \((x'_i,y'_i,z'_i\)) onde \[x'_{i'}=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\] \[y'_{i'}=\frac{y_i+y_{i+1}}{2}\] \[z'_{i'}=\frac{z_i+z_{i+1}}{2}\] com \(i\in\{0,1,\ldots,n-1\}\).

Note-se que todas as coordenadas de \(P'_i\) são obtidas das respectivas coordenadas de \(P_i\) e \(P_{i+1}\) do mesmo modo (neste caso, faz-se a média aritmética entre as duas). Consideraremos apenas transformações em que tal acontece, pelo que apenas precisaremos de saber como obter as abcissas dos novos pontos a partir das abcissas dos pontos do polígono original, uma vez que as outras coordenadas são obtidas do mesmo modo. Deste modo, não precisaremos de distinguir entre pontos do plano ou do espaço, e todas as construções válidas no plano (como, por exemplo, a bissecção) são também válidas no espaço.