Sucessões de Polígonos 
Formas alternadas
De um modo geral, dado um polígono inicial de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são \(x_r\), com \(r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), escrevemos \[x_r\;=\;\sum_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \left(P_j\cos\frac{2jr\pi}{n}+Q_j\sen\frac{2jr\pi}{n}\right) \] onde \(\lfloor n/2\rfloor\) representa a parte inteira de \(n/2\). Consideraremos dois casos distintos:
- Se \(n\) é par, temos \(n=2m\) para algum \(m\) e \(\lfloor n/2\rfloor=m\) pelo que \[\begin{array}{ll}x_r & =\;\sum_{j=0}^m \left(P_j\cos\frac{2jr\pi}{n}+Q_j\sen\frac{2jr\pi}{n}\right)\;=\\ & X + P_1\cos\frac{2r\pi}{n}+Q_1\sen\frac{2r\pi}{n}+\ldots +P_m\cos r\pi + Q_m\sen r\pi \end{array}\] onde \(X=P_0\).
- Se \(n\) é ímpar, temos \(n=2m+1\) para algum \(m\) e \(\lfloor n/2\rfloor=m\), pelo que \[\begin{array}{ll}x_r & =\;\sum_{j=0}^m \left(P_j\cos\frac{2jr\pi}{n}+Q_j\sen\frac{2jr\pi}{n}\right)\;=\\ & X + P_1\cos\frac{2r\pi}{n}+Q_1\sen\frac{2r\pi}{n}+\ldots +P_m\cos\frac{(n-1)r\pi}{n} + Q_m\sen\frac{(n-1)r\pi}{n} \end{array}\] onde \(X=P_0\).
Note-se que, em ambos os casos, temos um sistema de \(n\) equações com \(n\) incógnitas.
Escrevendo o vector \((P_j,Q_j)\) na forma polar \((C_j\cos\theta_j,C_j\sen\theta_j)\), temos \[P_j\cos\frac{2jr\pi}{n}+Q_j\sen\frac{2jr\pi}{n}\;=\; C_j\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right) \] pelo que \[x_r\;=\;\sum_{j=0}^m C_j\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right) \] Então, vem \[\begin{array}{ll}x'_r & =\;\frac{x_r+x_{r+1}}{2}\;=\\ & =\;\frac{1}{2}\sum_{j=0}^m C_j\left(\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)+ \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j- \frac{2j\pi}{n}\right)\right)\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m C_j \cos\frac{j\pi}{n} \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+\frac{j\pi}{n}\right) \end{array}\] e, mais geralmente, \[\begin{array}{ll}x_r^{(k)} & =\;\frac{x_r^{(k-1)}+x_{r+1}^{(k-1)}}{2}\;= \;\sum_{j=0}^m C_j \cos^k\left(\frac{j\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+\frac{kj\pi}{n}\right)\;=\\ & =\;X+\sum_{j=1}^m C_j \cos^k\left(\frac{j\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+\frac{kj\pi}{n}\right) \end{array}\] Quando \(k\) tende para infinito, todas as parcelas do somatório acima tendem mais rapidamente para zero do que a primeira, pelo que podemos desprezá-las e fazer a seguinte aproximação: \[x_r^{(k)}\;\approx\;X+ C_1 \cos^k\left(\frac{\pi}{n}\right) \cos\left(\frac{2r\pi}{n}-\theta_1+\frac{k\pi}{n}\right) \] para um valor de \(k\) elevado. Fazendo \(C=C_1\cos^k(\frac{\pi}{n})\) e \(\theta=\theta_1=\frac{k\pi}{n}\), vem \[x_r^{(k)}\;\approx\;X+ C\cos\left(\frac{2r\pi}{n}-\theta\right) \] ou seja, \[x_r^{(k)}\;\approx\;X+P\cos\frac{2r\pi}{n}+Q\sen\frac{2r\pi}{n} \] onde \(P=C\cos \theta\) e \(Q=C\sen \theta\). Analogamente, temos \[y_r^{(k)}\;\approx\;Y+R\cos\frac{2r\pi}{n}+S\sen\frac{2r\pi}{n} \] e, considerando pontos no espaço, \[z_r^{(k)}\;\approx\;Z+T\cos\frac{2r\pi}{n}+U\sen\frac{2r\pi}{n} \] Assim, analogamente ao que acontecia no caso do hexágono e do pentágono, temos que os pontos \(P_r^{(k)}=(x_r^{(k)},y_r^{(k)},z_r^{(k)})\) aproximam-se cada vez mais dos vértices de um polígono que se obtém aplicando uma função linear a um polígono regular de \(n\) lados centrado na origem seguida de uma translação, estando este também inscrito numa elipse centrada em \((X,Y,Z)\) e mantendo-se as relações de paralelismo existentes nos segmentos do polígono regular para os respectivos segmentos do polígono obtido.
Do mesmo modo, também os pontos que se obtêm aplicando duas vezes o processo de bissecção a um polígono de \(n\) lados são, aproximadamente, os mesmos pontos que se obtêm por uma homotetia de centro no centro de gravidade desse polígono e de razão \(cos^2(\frac{\pi}{n})\) sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for o valor de \(k\), pelo que, na sucessão de polígonos obtida, estes parecem surgir alternadamente na mesma posição, apenas com um tamanho menor.
Notemos agora que podemos aplicar o método descrito acima de representação das coordenadas de um polígono, denominada por representação de Fourier, a outros processos de construção de polígonos. Por exemplo, o que acontecerá se, em vez de unir os pontos médios de cada lado do polígono inicial, unir os pontos que trissectam cada lado, ou seja, que dividem cada lado em dois segmentos, tendo o primeiro o dobro do comprimentro do segundo? (ver "outros processos")
