Sucessões de Polígonos 
Trissecção
Se, dado um polígono inicial de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são \(x_r\) com \(r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), unirmos os pontos que dividem cada lado em dois segmentos, tendo o primeiro o dobro do comprimentro do segundo, obtemos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas por \[x'_r-x_r\;=\;\frac{2}{3}(x_{r+1}-x_r)\] ou seja, \[x'_r\;=\;\frac{x_r+2x_{r+1}}{3}\] onde \(x_n=x_0\). Consideremos a representação de Fourier das abcissas \(x_r\), dada por \[x_r\;=\;\sum_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \left(P_j\cos\frac{2jr\pi}{n}+Q_j\sen\frac{2jr\pi}{n}\right) \] onde \(\lfloor n/2\rfloor=m\) representa a parte inteira de \(n/2\). Escrevendo o vector \((P_j,Q_j)\) na forma polar \((C_j\cos\theta_j,C_j\sen\theta_j)\), temos \[x_r\;=\;\sum_{j=0}^m C_j\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right) \] Então, vem \[\begin{array}{ll}x'_r & =\;\frac{x_r+2x_{r+1}}{3}\;=\\ & =\;\frac{1}{3}\sum_{j=0}^m C_j\left(\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j\right)+ 2\cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+ \frac{2j\pi}{n}\right)\right)\;=\\ & =\;\sum_{j=0}^m C_j d_j \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+\psi_j\right) \end{array}\] onde \[d_j\;=\;\frac{1}{3}\sqrt{(1+2\cos\frac{2j\pi}{n})^2+ (2\sen\frac{2j\pi}{n})^2}\;=\; \frac{1}{3}\sqrt{5+4\cos\frac{2j\pi}{n}} \] e \[\psi_j\;=\;\arctg\frac{2\sen\frac{2j\pi}{n}}{1+2\cos\frac{2j\pi}{n}} \] Mais geralmente, vem \[x_r^{(k)}\;=\;\frac{x_r^{(k-1)}+2x_{r+1}^{(k-1)}}{3}\;=\; X+\sum_{j=1}^m C_j d_j^k \cos\left(\frac{2jr\pi}{n}-\theta_j+k\psi_j\right) \] Quando \(k\) tende para infinito, todas as parcelas do somatório acima tendem mais rapidamente para zero do que a primeira, pelo que podemos desprezá-las e fazer a seguinte aproximação: \[x_r^{(k)}\;\approx\; X+C_1 d_1^k \cos\left(\frac{2r\pi}{n}-\theta_1+k\psi_1\right) \] para um valor de \(k\) elevado. Fazendo \(C=C_{1}d_1^k\) e \(\theta=\theta_1-k\psi_1\) vem \[x_r^{(k)}\;\approx\;C \cos\left(\frac{2r\pi}{n}-\theta\right) \] ou seja, \[x_r^{(k)}\;\approx\;X+P\cos\frac{2r\pi}{n}+Q\sen\frac{2r\pi}{n} \] onde \(P=C\cos\theta\) e \(Q=C\sen\theta\). Analogamente, temos \[y_r^{(k)}\;\approx\;Y+R\cos\frac{2r\pi}{n}+S\sen\frac{2r\pi}{n} \] e, considerando pontos no espaço, \[z_r^{(k)}\;\approx\;Z+T\cos\frac{2r\pi}{n}+U\sen\frac{2r\pi}{n} \] Assim, analogamente ao que acontecia na bissecção, temos que os pontos \(P_{r}^{(k)}\) aproximam-se cada vez mais dos vértices de um polígono que se obtém aplicando uma função linear a um polígono regular de \(n\) lados centrado na origem, seguida de uma translação, estando este também inscrito numa elipse centrada em \((X,Y,Z)\) e mantendo-se as relações de paralelismo existentes nos segmentos do polígono regular para os respectivos segmentos do polígono obtido.
Notemos também que \[x_r^{(k+3)}\;\approx\;X+C_1 d_1^{k+3} \cos\left(\frac{2r\pi}{n}-\theta_1+(k+3)\psi_1\right) \] \[x_r^{(k+3)}-X\;\approx\;C_1 d_1^k d_1^3 \cos\left(\frac{2r\pi}{n}-\theta_1+k\psi_1+3\psi_1\right) \] \[x_r^{(k+3)}-X\;\approx\;d_1^3 C_1 d_1^k \cos\left(\frac{2(r+2)\pi}{n}-\theta_1+k\psi_1+3\psi_1- \frac{4\pi}{n}\right) \] Mas, como \[x_{r+2}^{(k)}-X\;\approx\;C_1 d_1^k \cos\left(\frac{2(r+2)\pi}{n}-\theta_1+k\psi_1\right) \] vem \[x_r^{(k+3)}-X\;\approx\;d_1^3 (x_{r+2}^{(k)}-X) \] desde que seja válida a aproximação \(3\psi_1\approx\frac{4\pi}{n}\), isto é, \(\psi_1\approx\frac{4\pi}{3n}\). De facto, temos \[\psi_1\;=\;\arctg\frac{2\sen\frac{2\pi}{n}}{1+2\cos\frac{2\pi}{n}} \;=\;\frac{4\pi}{3n}+\frac{1}{8}\left(\frac{2\pi}{n}\right)^3+ \frac{1}{972}\left(\frac{2\pi}{n}\right)^5+\ldots \] pelo que, para valores de \(n\) elevados, faz-se a aproximação \(\psi_1\approx\frac{4\pi}{3n}\). Assim, os pontos que se obtém aplicando três vezes o processo dado são, aproximadamente, os mesmos pontos que se obtém por uma homotetia de centro no centro de gravidade desse polígono e de razão \(d_{1}^{3}\), sendo a aproximação tanto melhor quanto maiores forem os valores de \(k\) e de \(n\). No entanto, é preciso ter em conta que, atendendo à aproximação efectuada, existe sempre uma diferença entre a forma de um polígono e a do polígono que se obtém aplicando três vezes o processo dado, e que essa diferença, ao contrário do que acontecia na bissecção, não tende para zero quando \(k\) tende para infinito (ou seja, após um número elevado de iterações).
O que aconterá se, mais geralmente, dividir cada lado de um polígono em dois segmentos cujo comprimento é, respectivamente, \(p\) e \(1-p\) vezes maior do que o comprimento desse lado, com \(0 < p < 1\)?
