Sucessões de Polígonos 
Generalização
Notemos que, em todos os processos de construção considerados anteriormente, a partir de um polígono inicial de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são \(x_j\), com \(j\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), obtivémos um novo polígono de \(n\) lados cujas abcissas dos vértices são dadas, para certos valores fixos \(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1} \in \mathbb{R}\), por \[\begin{array}{ll} x'_0= & a_0 x_0+a_1 x_1+\ldots+a_{n-1} x_{n-1}\\ x'_1= & a_0 x_1+a_1 x_2+\ldots+a_{n-1} x_0 = a_{n-1} x_0 + a_0 x_1+\ldots+a_{n-2}x_{n-1}\\ x'_2= & a_0 x_2+a_1 x_3+\ldots+a_{n-1} x_1 = a_{n-2} x_0 + a_{n-1} x_1+\ldots+a_{n-3}x_{n-1}\\ \ldots\\ x'_{n-1}= & a_0 x_{n-1}+a_1 x_0+\ldots+a_{n-1} x_{n-2} = a_1 x_0 + a_2 x_1+\ldots+a_0 x_{n-1}\\ \end{array}\] Vejamos alguns exemplos:
Se \(a_0=a_1=\frac{1}{2}\) e \(a_j=0\) para \(j>1\), então temos \(x'_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\), onde \(x_n=x_0\).
Se \(a_0=\frac{1}{3}\), \(a_1=\frac{2}{3}\) e \(a_j=0\) para \(j >1 \), então temos \(x'_i=\frac{x_i+2x_{i+1}}{3}\), onde \(x_n=x_0\).
Se, para algum \(p\) entre 0 e 1, \(a_0=1-p\), \(a_1=p\) e \(a_j=0\) para \(j > 1\), então temos \(x'_i=(1-p)x_i+p x_{i+1}\), onde \(x_n=x_0\).
Se \(a_1=a_{n-1}=\frac{1}{2}\) e \(a_j=0\) para \(j\neq 1, n-1\), então temos \(x'_i=\frac{x_{i-1}+x_{i+1}}{2}\), onde \(x_n=x_0\) e \(x_{-1}=x_{n-1}\).
Assim, dado \(i\in\{0,1,\ldots,n-1\}\),
temos \[x'_i = \sum_{j=0}^{n-1}a_{n-i+j} x_j\]
onde \(a_{n+l}=a_l\) para todo o \(l\in\{0,1,\ldots,n-1\}\).
Se considerarmos, para cada inteiro positivo \(k\),
\(x^{(k)}=\left(\begin{array}{c}
x^{(k)}_1\\
x^{(k)}_2\\
\ldots\\
x^{(k)}_n
\end{array}\right)\), então vem
\[x^{(k)}=A x^{(k)},\;\forall_{k\in \mathbb{N}_0}
\]
onde \(x^{(0)}=\left(\begin{array}{c}
x_0\\
x_1\\
\ldots\\
x_{n-1}
\end{array}\right)\), e
\(A= (a_{n-i+j})_{0\le i,j \le n-1} = \left(\begin{array}{cccc}
a_0 & a_1 & \ldots & a_{n-1}\\
a_{n-1} & a_0 & \ldots & a_{n-2}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_1 & a_2 & \ldots & a_0\\
\end{array}\right)\).
Equivalentemente, temos \[x^{(k)}=A^{(k)} x^{(0)},\;\forall_{k\in \mathbb{N}_0}\]
Deste modo, recorrendo a conhecimentos de Álgebra Linear, podemos tirar
conclusões sobre as sucessões de polígonos que temos vindo
a considerar. De facto, demonstra-se que a matriz \(A\) tem \(n\) valores próprios
complexos (não necessariamente distintos), dados por \[\lambda_t=\sum_{j=0}^{n-1}
a_j \omega^{jt}\] para todo o \(t\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), sendo \(\omega\) uma
raiz primitiva de ordem \(n\) da unidade. Para saber mais, consulte este
documento (em formato PDF).
De que forma podemos aplicar o que vimos aos exemplos dados anteriormente?
