ATRACTOR

Dado um triângulo qualquer, o circuncentro, o ortocentro e o baricentro são colineares. A reta que contém esses três pontos chama-se reta de Euler.

Iremos de seguida justificar a propriedade mencionada acima. Para tal, consideremos um triângulo não equilátero \([ABC]\) e sejam \(A'\), \(B'\) e \(C'\) os pontos médios dos lados \([BC]\), \([AC]\) e \([AB]\) respectivamente (ver app seguinte). É claro que os triângulos \([ABC]\) e \([A'B'C']\) são semelhantes, sendo \(2\) a razão de semelhança de \([ABC]\) para \([A'B'C']\).

Seja \(O\) o circuncentro do triângulo \([ABC]\). É fácil de perceber que \(O\) é o ortocentro do triângulo \([A'B'C']\), pois as mediatrizes do triângulo \([ABC]\) contêm as alturas do triângulo \([A'B'C']\).

Seja \(H\) o ortocentro do triângulo \([ABC]\). O segmento \([AH]\) no triângulo \([ABC]\) corresponde ao segmento \([A'O]\) no triângulo \([A'B'C']\), pelo que podemos concluir que \([AH]\) tem o dobro do comprimento de \([A'O]\).

Seja \(G\) o baricentro do triângulo \([ABC]\). Vejamos que os triângulos \([AHG]\) e \([A'OG]\) são semelhantes. Já justificamos acima que \([AH]\) tem o dobro do comprimento de \([A'O]\). Além disso, como o baricentro divide cada mediana a partir do vértice na razão de \(2:1\), concluímos que \([AG]\) tem o dobro do comprimento de \([GA']\). Por outro lado, os ângulos \(GAH\) e \(GA'O\) são geometricamente iguais, pois as retas suporte de \([AH]\) e de \([A'O]\) são paralelas (visto serem uma altura e uma mediana do triângulo \([ABC]\) em relação a \([AC]\)).

Concluímos, assim, pelo critério \(LAL\) que os triângulos \([AHG]\) e \([A'OG]\) são semelhantes. Ora, isto significa que os ângulos \(AGH\) e \(A'GO\) são geometricamente iguais, pelo que \(H\), \(G\) e \(O\) são colinerares. Além disso, podemos concluir ainda que \([HG]\) tem o dobro do comprimento de \([GO]\).

No caso de o triângulo \([ABC]\) ser equilátero, o circuncentro, o ortocentro e o baricentro são coincidentes e a reta de Euler não está determinada.