ATRACTOR

Na app seguinte, está representado o triângulo \([ABC]\), sendo possível mover qualquer dos três pontos.

Fixado um lado do triângulo \([ABC]\), por exemplo \([AC]\), a altura relativa a esse lado é o segmento de reta que une o vértice \(B\) ao pé da perpendicular traçada desse vértice sobre a reta suporte do lado \([AC]\).

Consideremos as alturas do triângulo \([ABC]\) relativas a dois dos seus lados, por exemplo, ao lado \([AC]\) e ao lado \([BC]\). As retas suporte das alturas intersectam-se num ponto \(H\).

Consideremos agora a altura do triângulo \([ABC]\) relativa ao outro lado (\([AB]\)). Vamos ver que a reta suporte dessa altura também contém o ponto \(H\).

Se conseguirmos construir um triângulo cujas mediatrizes contenham as três alturas, como já sabemos que as três mediatrizes se intersectam num ponto, garantimos que as três alturas também se intersectam num ponto.

Para tal, tracemos pelos vértices \(A\), \(B\) e \(C\) retas paralelas aos lados opostos: \([BC]\), \([AC]\) e \([AB]\), respectivamente. Essas três retas determinam um novo triângulo que denotaremos por \([PQR]\). Como \([RACB]\), \([BPCA]\) e \([ABCQ]\) são paralelogramos, concluímos que os segmentos \([RB]\), \([RA]\) e \([PC]\) são iguais respetivamente aos segmentos \([BP]\), \([AQ]\) e \([CQ]\), ou seja, os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) são os pontos médio de \([RQ]\), \([RP]\) e \([PQ]\).

As retas suporte das três alturas do triângulo \([ABC]\) são, portanto, as três mediatrizes do triângulo \([PQR]\). Já sabemos que as três mediatrizes se intersectam num ponto, logo as retas suportes das três alturas também se intersectam num ponto, neste caso, o ponto \(H\).

O ponto \(H\), ponto de intersecção das três retas suporte das alturas, diz-se o ortocentro do triângulo.