ATRACTOR

Na app seguinte, está representado o triângulo \([ABC]\), sendo possível mover qualquer dos três pontos.

Fixado um lado do triângulo \([ABC]\), por exemplo \([AC]\), a mediana relativa a esse lado é o segmento de reta que une o vértice oposto (neste caso, o vértice \(B\)) ao ponto médio do lado \([AC]\).

Consideremos as medianas do triângulo \([ABC]\) relativas a dois dos seus lados, por exemplo, ao lado \([AC]\) e ao lado \([BC]\). As medianas intersectam-se num ponto que denotaremos por \(G1\).

Sejam \(Q\) e \(R\) os pontos médios de \([AG1]\) e de \([BG1]\), respectivamente. Como, no triângulo \([ABC]\), \(M\) e \(N\) são os pontos médios dos lados \([AC]\) e \([BC]\) temos que \([MN]\) e \([AB]\) são paralelos e que o lado \([AB]\) tem o dobro do comprimento do lado \([MN]\). Considerando agora o triângulo \([ABG1]\), \(Q\) e \(R\) são os pontos médios dos lados \([AG1]\) e \([BG1]\). Portanto, \([QR]\) e \([AB]\) são paralelos e o lado \([AB]\) tem o dobro do comprimento do lado \([QR]\). Concluímos, portanto, que os lados \([QR]\) e \([MN]\) são paralelos e têm o mesmo comprimento, logo \([QRNM]\) é um paralelogramo.

Como \(G1\) é o ponto de intersecção das diagonais do paralelogramo (\([QN]\)) e \([RM]\)), temos que \([AG1\)] tem o dobro do comprimento de \([G1N]\) e \([BG1]\) tem o dobro do comprimento de \([G1M]\).

Consideremos agora as medianas do triângulo \([ABC]\) relativas ao lado \([AC]\) e ao lado \([AB]\). As medianas intersectam-se num ponto que denotaremos por \(G2\).

Sejam \(S\) e \(T\) os pontos médios de \([BG2]\) e de \([CG2]\), respectivamente. Com um raciocínio semelhante aos anterior, podemos concluir que \([PMTS]\) é um paralelogramo e que \([BG2]\) tem o dobro do comprimento de \([G2M]\) e \([CG2]\) tem o dobro do comprimento de \([G2P]\).

Como existe um único ponto \(X\) em \([BM]\) tal que \([BX]\) tem o dobro do comprimento de \([XM]\), concluímos que \(G1=G2\). Portanto, as três medianas do triângulo intersectam-se num ponto, que denotaremos por \(G\).

O ponto \(G\), ponto de intersecção das três medianas, diz-se o baricentro do triângulo. Como vimos acima, o baricentro divide cada mediana a partir do vértice na razão de \(2:1\).