ATRACTOR

Na app seguinte, está representado o triângulo \([ABC]\), sendo possível mover qualquer dos três pontos.

Consideremos as bissetrizes de dois dos seus ângulos internos, por exemplo do ângulo \(BAC\) e do ângulo \(ABC\) (ver app seguinte). As duas bissetrizes intersectam-se num ponto \(I\).

Como o ponto \(I\) pertence à bissectriz do ângulo \(BAC\), sabemos que ele é equidistante das retas \(AB\) e \(AC\). Mas também é equidistante das retas \(AB\) e \(BC\), por estar na bissetriz do ângulo \(ABC\). Assim, concluímos que o ponto \(I\) é equidistante das retas \(AC\) e \(BC\), pelo que também pertence à bissectriz do ângulo \(ACB\).

Sejam \(D\), \(E\) e \(F\) os pés das rectas perpendiculares aos lados do triângulo que passam por \(I\). Como \(I\) está à mesma distância das rectas \(AB\), \(BC\) e \(AC\), os segmentos \([ID]\), \([IE]\) e \([IF]\) têm todos o mesmo comprimento. Assim, a circunferência de centro em \(I\) que passa num destes pontos, também passa nos outros dois.

O ponto \(I\), ponto de intersecção das três bissectrizes, diz-se o incentro do triângulo e a circunferência tangente aos tres lados do triângulo diz-se a circunferência inscrita no triângulo.