ATRACTOR

Na app seguinte, está representado o triângulo \([ABC]\), os pontos médios dos seus lados (\(A'\), \(B'\), \(C'\)), os pés das suas alturas (\(D\), \(E\), \(F\)) e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro (\(H\)) a cada vértice do triângulo (\(K\), \(L\), \(M\)).

Iremos de seguida verificar que todos os pontos referidos acima (\(A', B', C', D, E, F, K, L, M\)) estão numa circunferência. Tal circunferência designa-se por circunferência dos nove pontos.

No triângulo \([ACH]\), \(K\) e \(M\) são os pontos médios de dois dos seus lados (\([AH]\) e \([CH]\)), pelo que se pode concluir que \(KM\) é paralelo a \(AC\). De forma análoga, considerando o triângulo \([ACB]\), se pode concluir que \(C'A'\) é paralelo a \(AC\). Assim, \(C'A'\) e \(KM\) são paralelos. Além disso, considerando o triângulo \([AHB]\), \(K\) e \(C'\) são os pontos médios de dois dos seus lados (\([AH]\) e \([AB]\)), pelo que se pode concluir que \(C'K\) é paralelo a \(BH\). De forma análoga, considerando o triângulo \([CHB]\), se pode concluir que \(A'M\) é paralelo a \(BH\). Assim, \(C'K\) e \(A'M\) são paralelos. Concluímos, portanto, que \([A'MKC']\) é um paralelogramo. E como \(AC\) e \(BH\) são perpendiculares, podemos concluir que \([A'MKC']\) é um retângulo. Sendo assim, podemos inscrever \([A'MKC']\) num circunferência (\(c1\)), sendo \([A'K]\) e \([C'M]\) dois diâmetros dessa circunferência.

Com um raciocínio semelhante ao que foi feito acima, se conclui que \([A'LKB']\) é um retângulo. Sendo assim, podemos inscrevê-lo numa circunferência (\(c2\)), sendo \([A'K]\) e \([B'L]\) dois diâmetros dessa circunferência. Portanto, as duas circunferências (\(c1\) e \(c2\)) coincidem, visto terem em comum o diâmetro \([A'K]\) e os pontos \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(M\), \(L\) e \(K\) pertencem todos à mesma circunferência.

Falta agora concluir que os pontos \(D\), \(E\) e \(F\) também pertencem à referida circunferência (com diâmetros \([A'K]\), \([C'M]\) e \([B'L]\)). Como o ângulo \(A'DK\) é reto, é claro que o ponto \(D\) está na circunferência (de diâmetro \([A'K]\)). Da mesma forma, \(B'EL\) também é um ângulo reto, pelo que o ponto \(E\) pertence à circunferência de diâmetro \([B'L]\). E finalmente \(C'FM\) também é um ângulo reto, pelo que \(F\) pertence à circunferência de diâmetro \([C'M]\).

Concluímos assim que os pontos \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(M\), \(L\), \(K\), \(D\), \(E\) e \(F\) pertencem todos a essa mesma circunferência.