ATRACTOR

No argumento anterior fizemos uso de várias propriedades dos triângulos planos que não são válidas em geometrias não-euclidianas. É certo que, com a métrica euclidiana, em espaços de curvatura constante não nula $[2]$ também é verdade que um triângulo é equilátero se e só se é equiângulo. (A demonstração deste facto é a mesma que Euclides apresentou para o plano pois não usa o postulado das paralelas.) Note-se, porém, que numa esfera não há triângulos semelhantes que não sejam congruentes; e, portanto, somos obrigados a parar logo no primeiro passo da demonstração anterior, pois ele não funciona no mundo de curvatura constante positiva. Além disso, a soma dos ângulos dos triângulos esféricos não é constante.

Apesar de tudo isto, a caracterização dos triângulos equiláteros que provámos no plano poderia ser válida numa esfera, precisando apenas de uma outra demonstração. Mas não. Veja-se que, na esfera de raio $2/\pi$, podemos traçar o triângulo (pitagórico mas não equilátero) de lados $1,\,1,\,2$ e ângulos $\pi/2, \,\pi/2,\,\pi$ e o triângulo com estes mesmos lados mas de ângulos $3\pi/2$, $3\pi/2$ e $\pi$ (ver figura seguinte).

E, na referida esfera, estão também: um triângulo equilátero cujos lados se situam no equador quando este é dividido em três partes iguais de comprimento $\frac{4}{3}$, e que tem os três ângulos iguais a $\pi$; um triângulo pitagórico e equilátero de lado $1$ e com os três ângulos iguais a $\pi/2$.

Qual será a versão esférica do atributo que encontrámos nos triângulos equiláteros planos? Para explorar esta questão, sugere-se o uso do módulo interactivo, que permite desenhar triângulos esféricos e testar algumas das suas propriedades.