ATRACTOR

Obviamente, um triângulo equilátero satisfaz as duas condições \(Q_1\) e \(Q_2\), com a particularidade de os seis quocientes em causa serem iguais a \(1\). Vejamos agora que a implicação recíproca também é válida, isto é, que:

Seja \(\mathcal{T}\) um triângulo de lados \(a,\) \(b\) e \(c\) e ângulos \(\angle A,\) \(\angle B,\) e \(\angle C\) satisfazendo estas duas hipóteses. Reescalonando-o, como se explicou anteriormente, podemos supor que \(a,\) \(b,\) \(c\) são racionais (ou mesmo inteiros). Além disso, podemos reescrever \[\angle A=\pi\,\alpha_A, \quad \angle B=\pi\,\alpha_B \quad \text{e} \quad \angle C=\pi\,\alpha_C\] para uma escolha adequada de reais positivos \(\alpha_A,\) \(\alpha_B,\) \(\alpha_C.\) Acrescente-se que, pela hipótese \(Q_2\), existem racionais \(s_1,\) \(s_2,\) \(s_3\) tais que \[\frac{\angle A}{\angle B}=s_1, \quad \frac{\angle B}{\angle C}=s_2 \quad \text{e} \quad \frac{\angle A}{\angle C}=s_3.\] Logo, tem-se \[\alpha_A=s_3 \, \alpha_C, \quad \alpha_B=s_2 \, \alpha_C\] e, como a soma dos ângulos do triângulo plano é igual a \(\pi\), deduzimos que \[s_3 \, \alpha_C + s_2 \, \alpha_C + \alpha_C = 1.\] Consequentemente,\[\alpha_C=\frac{1}{1+s_2+s_3} \in \mathbb{Q}.\] Em resumo: Se os quocientes das amplitudes dos ângulos de um trângulo plano são racionais, então os ângulos são múltiplos racionais de \(\pi.\)