Triângulos Belos 
Lados vs ângulos
Se o triângulo é rectângulo, com a versão semelhante que acabámos de construir entramos no mundo vasto dos triângulos pitagóricos. A figura seguinte ilustra um deles: note-se que, além de os lados serem inteiros, os três ângulos têm cossenos racionais.
Mas há outras possibilidades. Veja-se, por exemplo, o triângulo escaleno de lados com comprimentos \(5,\) \(6\) e \(7\): neste caso, os ângulos têm cossenos racionais, pois são \(\arccos(1/5)\), \(\arccos(5/7)\) e \(\arccos(19/35)\).
Repare-se agora no triângulo da figura seguinte: os quocientes entre as amplitudes dos ângulos são racionais, mas nem todos os quocientes dos lados e nem todos os cossenos dos ângulos o são.
Se, todavia, juntarmos as condições
\(Q_2\) : Os quocientes entre as amplitudes dos três ângulos são racionais.
então ficamos reduzidos aos triângulos equiláteros. O leitor encontrará nas próximas secções uma demonstração desta afirmação.
