Triângulos Belos 
Pausa
Neste momento, é oportuno reunirmos o que já sabemos sobre \(\mathcal{T}\):
- É semelhante a um triângulo com lados racionais (consequência de \(Q_1\)).
- Os seus ângulos são múltiplos racionais de \(\pi\) (consequência de \(Q_2\)).
Conseguiremos obter mais informação sobre a forma de um tal triângulo se aliarmos as duas propriedades anteriores, ou seja, se usarmos simultaneamente \(Q_1\) e \(Q_2\). Isso pode ser feito com a Lei dos Cossenos (que generaliza o Teorema de Pitágoras), pois ela informa que \[ \begin{eqnarray*} \cos(\angle A) &=& \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos(\angle B) &=& \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \cos(\angle C) &=& \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}. \end{eqnarray*}\] e, portanto, sendo os lados \(a,\) \(b,\) \(c\) racionais, então \(\cos(\angle A),\) \(\cos(\angle B)\) e \(\cos(\angle C)\) são números racionais. Este é um dado muito bem-vindo, porque se conhecem todos os ângulos \(\theta \in\,[0,\pi]\) que são múltiplos racionais de \(\pi\) e têm cosseno racional: \(\theta\) é igual a \(0\), \(\pi\), \(\pi/2\), \(\pi/3\) ou \(2\pi/3\), cujos cossenos são, respectivamente, \(\pm 1\), \(0\) e \(\pm \frac{1}{2}\). Provaremos este resultado mais adiante, mas observemos desde já que, com ele, estamos em condições de estabelecer a caracterização que procurávamos para o triângulo \(\mathcal{T}\). Realmente, \(\mathcal{T}\) é semelhante a um triângulo com lados racionais tal que:
- Os seus ângulos estão em \(]0,\pi[\).
- Nenhum dos seus ângulos pode ser \(\pi/2\), caso contrário um dos outros dois teria de ser menor ou igual a \(\pi/4\) e o seu cosseno não teria um valor permitido.
- Nenhum dos seus ângulos pode ser \(2\pi/3\), por razão análoga.
Logo, os três ângulos do triângulo \(\mathcal{T}\) são iguais a \(\pi/3\), o que indica que \(\mathcal{T}\)é equilátero.
