Figuras que tremem 
Poliedro trémulo não degenerado
A definição de poliedro trémulo é semelhante à usada no caso dos polígonos no plano. Diremos que o poliedro é trémulo se
- não for flexível;
- houver uma deformação (não trivial) do poliedro, tal que, para cada aresta \(a\), a função \(t\rightarrow\mbox{ comprimento de }a(t)\) tem derivada nula em \(t=0\).
e o poliedro é rígido se satisfizer a primeira condição e não a segunda.
O leitor poderá verificar que:
- já foi visto um exemplo de um poliedro flexível, mas, contrariamente ao caso dos polígonos no plano, não é um exemplo elementar;
- uma pirâmide triangular degenerada, por exemplo com um triângulo equilátero por base e em que o vértice "oposto"é o centro da base, constitui um exemplo trivial de um poliedro trémulo;
- qualquer poliedro flexível satisfaz a segunda condição.
Figura 9
A figura 9 ajuda a ver como se pode definir um exemplo de um poliedro trémulo não degenerado, devido a Jessen. Partindo dos vértices de um icosaedro regular7, fazemos escolhas de pares de faces contíguas pela forma indicada na imagem da esquerda (faces não verdes) e substituímos cada um desses pares por um par reentrante de triângulos isósceles, mantendo-se o conjunto de vértices inalterado (imagem direita), embora, claro, as novas arestas a vermelho tenham comprimentos diferentes das primitivas. Aplica-se ao poliedro uma deformação que conserve os comprimentos das arestas a vermelho, e que se traduza na diminuição, com velocidade constante, da distância entre os vértices dos diedros reentrantes que não pertencem às (novas) arestas vermelhas, até terem o valor final \(0\), caso em que os triângulos isósceles referidos se identificam dois a dois. Escolhido um vértice \(V_{0}\) e uma face verde à qual ele pertença, se essa deformação mantiver fixo \(V_{0}\) e conservar as direcções das arestas dessa face às quais pertence \(V_{0}\), a deformação fica perfeitamente determinada. Note-se que os comprimentos das arestas (a azul), bordos das faces (verdes), não permanecem constantes durante a deformação, embora se conservem iguais entre si. A figura 10 mostra os gráficos de várias funções, relacionadas com esta deformação, que termina num poliedro degenerado do qual só ficam visíveis as faces verdes, que ocupam as posições das de um octaedro regular. Essa figura 10 permite observar que há um valor8 de \(t\) para o qual ambas as funções comprimento têm derivada \(0\). Da família de poliedros representados por esta deformação só se pode concluir que é trémulo o correspondente a esse valor do parâmetro de deformação, e não todos os outros, como por vezes é afirmado. Para esse valor do parâmetro em que o poliedro é trémulo, o ângulo diedral (variável) reentrante é9 \(\frac{\pi}{2}\). O poliedro trémulo correspondente é conhecido por icosaedro ortogonal de Jessen.
Figura 10
8 Esse valor é \(1-\frac{\phi}{2}\simeq0,19\), \(\phi\) designando o número de ouro.
9 Feitas as contas para o ângulo diedral reentrante \(\alpha\) em função do parâmetro de deformação \(t\) obtém-se \[\tan\left[\frac{\alpha}{2}\right]=\frac{1-t}{\phi-1+t}.\] No caso ortogonal, ficará \(1=\frac{1-t}{\phi-1+t}\), ou seja \(t=1-\frac{\phi}{2}\). Portanto, a posição trémula é precisamente aquela em que o ângulo diedral reentrante é recto. Acontece que todos os outros ângulos diedrais (não reentrantes) são também rectos nessa fase da deformação.
