Figuras que tremem 
O caso dos poliedros
Visto em detalhe o caso dos polígonos no plano, vamos agora alargar as definições ao caso de poliedros no espaço. O "análogo" de um triângulo equilátero no plano, figura rígida por excelência, é um tetraedro (poliedro regular com quatro faces que são triângulos equiláteros). E o que será o análogo ao quadrado e ao losango? Consideremos um cubo. Será deformável continuamente, como é o quadrado? A resposta depende do que exigirmos que se mantenha durante a deformação. No caso do quadrado no plano, queríamos que os comprimentos dos lados se mantivessem constantes durante a deformação (ou, o que é equivalente, que as distâncias entre vértices consecutivos do polígono se mantivessem constantes). No caso do cubo, há duas escolhas possíveis a fazer para uma deformação do poliedro: i) a mais fraca, exigindo que as distâncias entre vértices consecutivos de cada face se mantenham constantes, ou, o que é equivalente, que os comprimentos de todas as arestas do poliedro permaneçam constantes; ii) outra, exigindo que, para cada face, as distâncias entre quaisquer dois dos seus vértices se mantenham constantes, o que equivale a impor que, durante a deformação, cada face se mantenha isométrica à de partida. A figura 7 mostra uma fase na deformação do cubo que satisfaz a primeira condição e não a segunda: as faces não horizontais que contêm as arestas \([AB]\) e \([CD]\) são losangos não quadrados e as restantes quatro são quadrados. Para um poliedro que só tenha faces triangulares, as duas condições (i) e (ii) coincidem.
Figura 7
Um poliedro é dito flexível se existir uma deformação não trivial que fixe uma face e satisfaça a condição mais forte (ii). Cauchy provou em 1813 que nenhum poliedro convexo (não degenerado) é flexível (o argumento pode ler-se em [2]). Durante 164 anos esteve em aberto o problema de saber se haveria ou não poliedros (sem auto-intersecções) flexíveis não convexos. Uma resposta afirmativa foi dada em 1977 por Connelly, tendo sido exibido um exemplo5 de um tal poliedro em que todas as faces são triangulares. A figura 8 mostra fases na deformação6 de um poliedro definido por Steffen, baseado no de Connelly, mas com menor número de faces, tendo sido provado mais tarde que nenhum outro existe com ainda menor número de faces.
Figura 8
6 O par de imagens pequenas, mais à direita permite visão estereoscópica aos leitores que consigam "juntar visualmente" as duas imagens numa só. As da esquerda podem ser vistas com óculos anáglifos. Um modelo em cartão foi construído para a Exposição Matemática Viva, criada pelo Atractor e que esteve cerca de dez anos em exibição no Pavilhão de Conhecimento. Modelos virtuais interactivos em visão mono ou estereoscópica podem ser vistos aqui .
