Figuras que tremem Reformatar


Usando uma estrutura física

Resulta do que foi dito que no caso de um triângulo \([ABC]\), mesmo não equilátero, não há em \(S\) nenhum triângulo \([ABC']\) diferente de \([ABC]\), cujos lados tenham comprimentos iguais aos correspondentes de \([ABC]\), embora, pensando nos lados como hastes de uma estrutura física, esta imobilidade do \(C\) parece por vezes ser posta em causa na prática. O leitor pode querer construir uma tal estrutura, com os meios de que dispuser2. A figura 4 representa configurações que poderá reproduzir aproximadamente. Há, em cada uma das quatro situações representadas, três pares de barras ligadas, duas a duas, por orifícios nos extremos das barras. Numa, as três barras têm o mesmo comprimento e o triângulo obtido é equilátero, nas outras três o comprimento da haste horizontal fixa é o dobro do das outras duas hastes mais pequenas. Em três dos casos, essas ligações foram feitas por parafusos com porcas, mas não apertados demasiado, para não imobilizarem as duas hastes que eles ligam; no outro caso, o da direita em cima, o parafuso foi substituído por um pino que se ajusta3 um pouco melhor que o parafuso, ao orifício da haste.

Figura 4

Sem folgas, em cada um dos três últimos casos, as duas hastes mais pequenas deveriam estar alinhadas com a maior. O objectivo da experiência é tentar afastar, o mais possível, da barra horizontal fixa, o ponto em que as duas outras hastes estão ligadas. No triângulo equilátero, é completamente imperceptível qualquer alteração de posição do ponto, mas nos outros três casos, aproveitando as pequeníssimas folgas existentes entre o orifício e o parafuso (ou pino), conseguem-se alguns desvios: a figura 4 representa os desvios máximos conseguidos. Comparem-se, em particular, as duas imagens da direita: é visível na de baixo um maior ângulo de cada uma das duas barras pequenas com a horizontal (quase o dobro do ângulo na de cima), embora a diferença entre as folgas nos dois casos da direita seja só de 0,2mm.

Isto significa que, na prática, o conhecimento aproximado dos comprimentos dos lados do triângulo permite, no caso de triângulos degenerados, formas bem diferentes umas das outras, embora tal não suceda no caso, por exemplo, do triângulo equilátero. Esta falta de rigidez de um triângulo degenerado \([ABC]\) como o que estamos a considerar está ligada ao facto de o comprimento dos lados mais pequenos \([AC]\) e \([BC]\) "não mudar significativamente", quando \(C\) se desloca um pouco na vertical. Se encontrarmos uma definição precisa que traduza o sentido, a priori subjectivo, da parte destacada na frase anterior, teremos encontrado uma forma de definir matematicamente a rigidez.

Antes de fazermos essa tradução, analisemos uma situação concreta.

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2 Se tiver acesso a um jogo do tipo Meccano, pode inspirar-se na figura 4 (lado esquerdo ou direito, conforme a época em que esse Meccano tiver sido adquirido), caso contrário, poderá usar três tiras de alumínio ou de PVC fino, em cada uma das quais terá de furar dois buracos.
3 Os diâmetros dos orifícios, parafusos (e pinos) usados nas hastes das fotografias são: plástico 10,4mm e 10,2mm; outros: 4,3mm, 3,6mm (e 3,8mm); as folgas são, pois, de 0,2mm no caso plástico e 0,7mm (e 0,5mm) nos outros. Em todos os casos os diâmetros foram medidos com uma craveira com nónio e têm erro inferior a 0,1mm.