ATRACTOR

Com as notações anteriores, consideremos em \(S\) o (único) triângulo \([ABC]\) equilátero de lado \([AB]\): está na figura 5 a preto e azul. Se \(L\) designar metade do comprimento de \([AB]\), a altura \(h_{0}\) de \(C\) é dada por \(\sqrt{3}L\). Aplicando a este triângulo uma deformação \(f\) que conserve imóveis \(A\) e \(B\) e desloque \(C\) na vertical com velocidade escalar por exemplo constante e igual a \(1\), o ponto \(C'\) (\(=f(C,t)\)) representado na mediatriz de \([AB]\) em \(S\) está à distância \(\delta=t\) de \(C\), para cima e o triângulo \([ABC']\), isósceles, tem lados \([AC']\) e \([BC']\) com comprimentos ligeiramente maiores do que \(2L\). O comprimento (comum) de \([AC']\) e \([BC']\) é dado pela função \(g\) definida por \[g(h)=\sqrt{L^{2}+h^{2}}\], em que \(h=h_{0}+\delta\) representa a altura de \(C'\) e, portanto, o aumento do comprimento, relativamente ao de \([AC]\), é \[\epsilon=g\left(h_{0}+\delta\right)-g\left(h_{0}\right)=\sqrt{L^{2}+\left(h_{0}+\delta\right)^{2}}-\sqrt{L^{2}+h_{0}^{2}}=\sqrt{L^{2}+\left(h_{0}+\delta\right)^{2}}-2L.\] Na figura 5, está marcado no segmento \([AC']\) o ponto que dista de \(A\) o mesmo que \(C\), sendo, pois, \(\epsilon\) a distância desse ponto a \(C'\).

Figura 5

Na mesma figura está também representado (a preto e laranja) o que se passa quando se parte de um triângulo degenerado em vez de um equilátero. Nas fórmulas indicadas, há agora que substituir \(h_{0}\) por \(0\). O comprimento de \([AC']\) e \([BC']\) é agora \(\sqrt{L^{2}+\delta^{2}}\) e, portanto, o aumento \(\epsilon\) do comprimento, relativamente ao correspondente a \(h_{0}=0\) é \(\sqrt{L^{2}+\delta^{2}}-L\).

Para uma comparação mais clara entre os valores de \(\delta\), correspondentes à deslocação de \(C\) para cima (até \(C'\)) e os da folga \(\epsilon\) que permitem os aumentos dos comprimentos, foram incluídos na figura 5, dos dois lados, ampliações de partes da imagem central, a da esquerda para o triângulo degenerado e a da direita para o equilátero. Nota-se que no caso degenerado o aumento de comprimento \(\epsilon\) é insignificante, quando comparado com o aumento de altura \(\delta\). O mesmo não acontece no caso do triângulo equilátero, em que \(\delta\) e \(\epsilon\) são da mesma ordem de grandeza.

A figura 6 mostra os gráficos da função \(\epsilon(\delta)\) nos dois casos considerados, tomando 610mm como comprimento de \([AB]\), que é o do modelo usado. No caso do triângulo degenerado, para obter um aumento da altura do ponto \(C\) de cerca de 25mm, basta uma folga de cerca de 1mm, ao passo que no caso de um triângulo equilátero com a mesma base, a mesma folga permite um aumento de altura de pouco mais de 1mm.

Figura 6

O leitor já terá notado que o limite do quociente \[\frac{\epsilon}{\delta}=\frac{g\left(h_{0}+\delta\right)-g\left(h_{0}\right)}{\delta}\] quando \(\delta\) tende para \(0\) é o valor⁴ \(g'(h_{0})\) da derivada da função \(g\) no ponto \((h_{0}\) (notar que \(\delta\) é igual a \(t\) por termos suposto a velocidade escalar do movimento de \(C\) constante e igual a \(1\)). E, precisamente, esse valor \(\frac{h_{0}}{\sqrt{L^{2}+h_{0}^{2}}}\) é \(0\) se \(h_{0}=0\) (caso degenerado, a laranja) e é diferente de \(0\) (mais precisamente é \(\frac{\sqrt{3}L}{2L}=\frac{\sqrt{3}}{2}\simeq0,866\)) se \(h_{0}= \sqrt{3} L\) (caso equilátero, a azul).

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