O que é uma figura simétrica? Reformatar


Questão 1

A primeira questão que se coloca é:

Q1 a propriedade "conservarem as distâncias" é ou não uma consequência de serem transformações que enviam certas imagens sobre elas próprias, conservando os aspectos das respectivas imagens?

Observemos uma das quatro imagens da figura já atrás considerada:

Parece que uma transformação que envie aquela imagem sobre ela própria não pode deixar de ser uma isometria. E, se nos restringirmos a transformações com um certo grau de homogeneidade de comportamento, por exemplo transformações afins, a conclusão está correcta para aquelas imagens. Mas isso não responde à questão Q1. Consideremos um ponto numa recta; todas as homotetias de centro nesse ponto enviam a recta sobre ela própria e só duas das homotetias conservam distâncias... Portanto, temos uma resposta negativa a Q1. No entanto, nos exemplos que considerámos nas figuras anteriores e em todos os que nos vão interessar, acontece que as figuras têm um conjunto de simetrias finitamente gerado, isto é, há um conjunto finito de simetrias tal que qualquer simetria se obtém por composição de algumas dessas. Note-se que o conjunto de todas as homotetias da recta, de centro fixo, não é finitamente gerado. Haverá algum contra-exemplo a Q1 com um conjunto de simetrias finitamente gerado? Modifiquemos o anterior, escolhendo na recta dois pontos distintos, \(O\) e \(P\) e considerando o conjunto dos homotéticos \(P_n\) de \(P\), com centro \(O\) e razão \(2^n\), (ou \(k^n\), \(k>1\)), \(n\) inteiro qualquer.

Este conjunto é enviado sobre si próprio por uma homotetia de centro \(O\) e razão \(2\) (\(k\)) e, além disso, as transformações em causa são todas geradas por ela. Qualquer dessas transformações envia o conjunto sobre si próprio e nenhuma delas conserva as distâncias, excepto o caso trivial da identidade, obtido para n=0. Temos, assim, uma resposta negativa a Q1, mesmo quando todas as transformações são geradas por uma mesma.

A figura seguinte mostra um conjunto no plano com propriedades semelhantes.

Em conclusão: se quisermos garantir que uma simetria seja uma isometria, temos de impor essa condição na definição. Eis a definição mais exigente adoptada:

Uma simetria de uma figura plana é uma isometria do plano que envia essa figura sobre ela própria.

No CDF seguinte é possível construir contra-exemplos análogos aos dois descritos anteriormente, com diferentes razões de semelhança.

 

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