O que é uma figura simétrica? 
Existência
Continuando a considerar dois pontos distintos quaisquer \(A\), \(B\) e dois pontos \(A'\), \(B'\), tais que \(d(A',B') = d(A,B)\),
- (Existência) vamos, agora, justificar as seguintes afirmações:
a. há uma rotação ou uma translação que envia \(A\) em \(A'\) e \(B\) em \(B'\).
b. há uma reflexão deslizante (sentido lato) que envia \(A\) em \(A'\) e \(B\) em \(B'\).
Para provarmos 2.a., consideremos primeiro o caso de \(AB\) ser paralela a \(A'B'\); se o sentido for o mesmo, a translação pelo vector \(AA'\) satisfaz ao desejado, caso contrário o ponto médio \(C\) de \(AA'\) coincide com o de \(BB'\) e é a rotação de 180° centrada em \(C\) que envia \(A\) em \(A'\) e \(B\) em \(B'\) (como se pode ver na segunda imagem da figura seguinte).
Se as rectas \(AB\) e \(A'B'\) se intersectarem, as mediatrizes de \(AA'\) e \(BB'\) também se intersectam num ponto \(C\) e a rotação de centro \(C\) que envia \(A\) em \(A'\) também envia \(B\) em \(B'\).
Na app seguinte poderá mover os pontos e verificar experimentalmente as afirmações anteriores.
Provemos 2.b.: se as rectas \(AB\) e \(A'B'\) forem concorrentes, desenhada a bissectriz do ângulo, a paralela por \(A'\) e a perpendicular por \(A\) intersectam-se em \(A''\) e a mediatriz de \(AA''\) será o eixo da reflexão deslizante com \(A''A'\) como vector de deslizamento, que envia \(A\), \(B\) em \(A'\), \(B'\).
Na app seguinte poderá mover os pontos e verificar experimentalmente a afirmação anterior.
Se as rectas \(AB\) e \(A'B'\) forem paralelas:
i) se os sentidos forem os mesmos, o eixo de reflexão será paralelo à meia-distância e o deslizamento será o vector \(A''A'\).
ii) se tiverem sentidos opostos, o eixo de reflexão será a mediatriz de \(AA''\) e o deslizamento será o vector \(A''A'\).
