Existência
Continuando a considerar dois pontos distintos quaisquer A, B e dois pontos A', B', tais que d(A',B') = d(A,B),
- (Existência) vamos, agora, justificar as seguintes afirmações:
a. há uma rotação ou uma translação que envia A em A' e B em B'.
b. há uma reflexão deslizante (sentido lato) que envia A em A' e B em B'.
Para provarmos 2.a., consideremos primeiro o caso de AB ser paralela a A'B'; se o sentido for o mesmo, a translação pelo vector AA' satisfaz ao desejado, caso contrário o ponto médio C de AA' coincide com o de BB' e é a rotação de 180° centrada em C que envia A em A' e B em B' (como se pode ver na segunda imagem da figura seguinte).
Se as rectas AB e A'B' se intersectarem, as mediatrizes de AA' e BB' também se intersectam num ponto C e a rotação de centro C que envia A em A' também envia B em B'.
Na app seguinte poderá mover os pontos e verificar experimentalmente as afirmações anteriores.
Provemos 2.b.: se as rectas AB e A'B' forem concorrentes, desenhada a bissectriz do ângulo, a paralela por A' e a perpendicular por A intersectam-se em A'' e a mediatriz de AA'' será o eixo da reflexão deslizante com A''A' como vector de deslizamento, que envia A, B em A', B'.
Na app seguinte poderá mover os pontos e verificar experimentalmente a afirmação anterior.
Se as rectas AB e A'B' forem paralelas:
i) se os sentidos forem os mesmos, o eixo de reflexão será paralelo à meia-distância e o deslizamento será o vector A''A'.
ii) se tiverem sentidos opostos, o eixo de reflexão será a mediatriz de AA'' e o deslizamento será o vector A''A'.
