Atendendo à informação da página anterior, chega-se à tabela seguinte.
| Poliedro | Arestas por face | Faces por vértice | Faces (F) | Arestas (A) | Vértices (V) | Planificação |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 4 | 6 | 4 | ||
| 4 | 3 | 6 | 12 | 8 | ||
| 3 | 4 | 8 | 12 | 6 | ||
| 5 | 3 | 12 | 30 | 20 | ||
| 3 | 5 | 20 | 30 | 12 |
Se examinarmos o número de arestas, vértices e faces dos cinco poliedros regulares, notamos algumas regularidades numéricas, nomeadamente:
- o cubo e o octaedro têm o mesmo número de arestas e o número de faces de um é igual ao número de vértices do outro;
- o dodecaedro e o icosaedro têm o mesmo número de arestas e o número de faces de um é igual ao número de vértices do outro;
- no tetraedro, o número de vértices é igual ao número de faces.
Esta situação pode levar-nos a conjeturar que estes poliedros satisfazem uma relação especial entre eles: o cubo com o octaedro, o dodecaedro com o icosaedro e o tetraedro consigo mesmo. Vejamos que tipo de relação.
Consideremos um cubo e o centro da face de cima do cubo. Consideremos ainda os centros das faces que são adjacentes à face de cima.
Se repetirmos este processo para todas as faces do cubo, obtemos uma "grelha" que já nos é familiar.
Com efeito, a "grelha" referida tem uma estrutura triangular e, se acrescentarmos os triângulos em falta, obtemos um octaedro.
Se procedermos da mesma forma para um octaedro (isto é, se "unirmos" os pontos centrais de faces adjacentes), obtemos um cubo. E o mesmo acontece com o dodecaedro/icosaedro e o tetraedro/tetraedro. Diz-se então que estes poliedros são duais: o cubo e o octaedro são duais um do outro; o dodecaedro e o icosaedro são duais um do outro e o tetraedro é dual de si mesmo.
Poliedros duais
