Sistemas Presa-Predadores 
Estudo do modelo
No que se segue a letra \(t\) designa o tempo (variável real não negativa), \(x(t)\) o número de presas no instante \(t\) e \(y(t)\) o número de predadores no instante \(t\). Naturalmente deveríamos considerar apenas valores inteiros de \(x(t)\) e \(y(t)\); mas o estudo do modelo de Volterra exige que permitamos que \(x(t)\) e \(y(t)\) variem nos reais não negativos e definam funções deriváveis.
As variações ao longo do tempo das funções \(x\) e \(y\) têm a sua tradução analítica nas derivadas \(x^{'} \) e \(y^{'} \) e, portanto, as considerações que fizemos atrás formalizam-se no seguinte sistema de equações diferenciais \[\begin{cases} x^{'}= & Ax-Bxy\\ y^{'}= & -Cy+Dxy \end{cases}\] onde \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são constantes positivas. Resolver o sistema é determinar a função \(t\rightarrow\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\) que verifica as duas equações.
Este sistema não linear é solúvel: pelo Teorema da Existência e Unicidade (detalhes em [4]), para cada condição inicial \(x(t_{0})\), \(y(t_{0})\) existe uma curva \(t\rightarrow\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\) que verifica as duas equações do sistema. Contudo a demonstração deste teorema não é construtiva e, em particular, não sabemos determinar explicitamente esta curva-solução. Resta-nos, então, fazer uma análise qualitativa, com pistas que nos são sugeridas por integração numérica.
Relembremos que o objectivo é determinar o número médio de fanecas e de tubarões; veremos que, independentemente das soluções,
número médio de tubarões \(=\frac{A}{B}\)
Se seguir a sequência dos items abaixo ficará a conhecer uma justificação destas igualdades.
