Em Média 
Média geométrica-harmónica
Analogamente, constrói-se a média geométrica - harmónica de um par de números reais \(a > b > 0\) determinando-se alternadamente estas duas médias. Ou seja: \[e_1 = \sqrt{a\,b} \quad \quad \quad f_1=\frac{2ab}{a + b}\] e, para \(n \in \mathbb{N}\), \[e_{n+1} = \sqrt{e_n\,f_n} \quad \quad \quad f_{n+1}=\frac{2\,e_n \,f_n}{e_n + f_n}.\] Note-se que \(e_1 = \sqrt{a\,b} < a\), que \(f_1=\frac{2\,a\,b}{a + b} > b\) e que \(f_1 < e_1\) por (1). Mais geralmente, \[b < f_n < f_{n+1} < e_{n+1} < e_n < a \quad \quad \forall n \in \mathbb{N}.\] Além disso, \[\begin{eqnarray*} e_1 &=& \sqrt{a\,b} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}}} \\ \\ f_1 &=& \frac{2ab}{a + b} = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a} \,+\, \frac{1}{b}}{2}}. \end{eqnarray*}\] Indutivamente, pode confirmar-se que os termos das sucessões \(\left(e_n\right)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\) e \(\left(f_n\right)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\), determinadas por \((a,b)\) com \(a > b > 0\), são os inversos dos termos das sucessões \(\left(b_n\right)_{n \, \in\, \mathbb{N}}\) e \(\left(a_n\right)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\), respectivamente, para o par \((\frac{1}{b}, \,\frac{1}{a})\), sendo \(\frac{1}{b} > \frac{1}{a} > 0\). E, portanto, as sucessões \(\left(e_n\right)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\) e \(\left(f_n\right)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\) são estritamente monótonas e convergem para \[GH(a,b):=\frac{1}{AG(\frac{1}{b}, \,\frac{1}{a})}.\]
