Em Média 
Média aritmética-harmónica
Do mesmo modo, podemos considerar a média aritmética - harmónica, obtida calculando-se sucessivamente estas duas médias a partir de uma escolha inicial de dois números reais positivos distintos, digamos \(a > b > 0\). Mais precisamente, \[c_1 = \frac{a + b}{2} \quad \quad \quad \quad d_1 =\frac{2ab}{a + b}\] e, para \(n \in \mathbb{N}\), \[c_{n+1} = \frac{c_n + d_n}{2} \quad \quad \quad \quad d_{n+1} = \frac{2\,c_n \,d_n}{c_n + d_n}.\] Repare-se que \(\sqrt{c_1\,d_1} = \sqrt{ab}\); além disso, como \(\frac{a+b}{2} < a\) e \(a,\, b > 0\), tem-se \[d_1 = \left(\frac{2}{a + b}\,a\right)\,b > b;\] por (1), vale ainda \[b < d_1 < \sqrt{ab} < c_1 < a.\] Em geral, para cada \(n \in \mathbb{N}\), \[\begin{equation*} b < d_n < d_{n+1} < \sqrt{ab} < c_{n+1} < c_n < a. \end{equation*}\] e \[\sqrt{c_n\,d_n} = \sqrt{ab}.\] Consequentemente, \[\begin{equation} c_{n+1} - d_{n+1} < c_{n+1} - d_{n} = \frac{c_n - d_n}{2} \end{equation} \;\;\; \;\;\; \;\;\; (2)\] e, portanto, as sucessões \(\left(c_{n}\right)_{n \,\in \,\mathbb{N}}\) e \(\left(d_{n}\right)_{n \,\in \,\mathbb{N}}\) convergem para o mesmo limite, que designaremos por \(AH(a,b)\) e que tem de ser igual a \(\sqrt{ab}\). A convergência é de facto mais rápida do que (2) revela, uma vez que \[c_{n+1}-d_{n+1} = \frac{\left(c_n - d_n\right)^2}{4\,c_{n+1}} < \frac{\left(c_n - d_n\right)^2}{4\,b}.\]
