Em Média 
Média aritmética-geométrica
Fixados dois números reais positivos \(a\) e \(b\), a sua média aritmética
- geométrica é obtida através da iteração de
um algoritmo que calcula alternadamente a média aritmética e a geométrica,
transformando \((a, b)\) no par de sucessões \[a_1 =\frac{a + b}{2} \quad
\quad \quad \quad b_1=\sqrt{a\,b}\] e, para \(n \in \mathbb{N}\), \[a_{n+1} = \frac{a_n
+ b_n}{2} \quad \quad \quad \quad b_{n+1}=\sqrt{a_n\,b_n}.\] Note-se que, se \(a=b\),
então \(a_n=a=b_n\) para todo o \(n\).
Quando \(a > b\), tem-se \(b < b_1\), \(a_1 < a\) e, por (1),
\(b_1 < a_1\).
Mais geralmente, para cada \(n \in \mathbb{N}\)
\begin{equation*}\label{eq:b>a} b < b_n < b_{n+1} < a_{n+1} < a_n < a \end{equation*}
e \begin{equation*} a_{n+1} - b_{n+1} < a_{n+1}
- b_{n} = \frac{a_n - b_n}{2}. \end{equation*} Logo, as sucessões \(\left(a_n\right)_{n
\,\in\, \mathbb{N}}\) e \(\left(b_n\right)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\) convergem, e
têm o mesmo limite, que pertence ao intervalo \(]a,b[\) e que designaremos
por \(AG(a,b)\).
A convergência destas duas sucessões é rápida. De facto, uma vez que, para todo o \(a>b >0\), a sucessão \(\left(a_n\right)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\) decresce para \(AG(a,b)\) e temos \[\left(a_{n+1}\right)^2-\left(b_{n+1}\right)^2=\frac{\left(a_n - b_n\right)^2}{4},\] se dividirmos ambos os termos desta última igualdade por \[a_{n+1} + b_{n+1}=2\,a_{n+2}\] obtemos \[a_{n+1}-b_{n+1} = \frac{\left(a_n - b_n\right)^2}{4\,\left(a_{n+1} + b_{n+1}\right)} = \frac{\left(a_n - b_n\right)^2}{8\,a_{n+2}} < \frac{\left(a_n - b_n\right)^2}{8\,AG(a,b)}.\] A velocidade de convergência deste algoritmo está na base de um dos processos mais eficientes para calcular aproximações de \(\pi\). Efectivamente, Gauss provou que \[AG(\sqrt{2},1)=\frac{2\pi}{L} \simeq 1.198140234735...\] onde \(L=4\,\int_0^1\, \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\,dx\) é o comprimento da lemniscata (a curva plana que em coordenadas polares se descreve pela equação \(r^2=\cos(2\theta)\)). Bastam quinze termos da correspondente sucessão \(\left(a_n\right)_{n \,\in\, \mathbb{N}}\) para conhecermos mais de dois biliões de casas decimais da dízima de \(\pi.\) Podem ler-se mais detalhes sobre este capítulo da obra de Gauss em [1].
Fig 1
Na figura 1, as diferentes tonalidades da coloração do gráfico da função \(AG \colon (a,b) \in \,\,]0,10]\times ]0,10]\colon a > b \mapsto AG(a,b)\) indicam como varia com \((a,b)\) a velocidade de convergência das sucessões que calculam a média aritmética - geométrica. Observe também nesta imagem o comportamento da média \(AG\) com a mudança de escala: \(AG(ra,rb) = r AG(a,b)\) para todo \((a,b) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+\) e qualquer \(r >0\).
