Em Média 
Acção aleatória conjunta das três médias
Os três procedimentos iterativos descritos anteriormente podem combinar-se numa acção aleatória conjunta das três médias \(AG\), \(AH\) e \(GH\). Mais precisamente, consideremos as funções \[\begin{array}{clcr} \mathcal{F}_1: & \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ & \to &\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \\ & (a,b) & \mapsto & \left(\frac{a\,+\,b}{2}, \,\sqrt{ab}\right) \end{array}\] \[\begin{array}{clcr} \mathcal{F}_2: & \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ & \to &\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \\ & (a,b) & \mapsto & \left(\frac{a\,+\,b}{2}, \,\frac{2\,a\,b}{a\,+\,b}\right) \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{clcr} \mathcal{F}_3: & \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ & \to &\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \\ & (a,b) & \mapsto & \left(\sqrt{ab}, \,\frac{2\,a\,b}{a\,+\,b}\right). \end{array}\] e, fixado um par \((a,b)\), lancemos um dado que tenha três faces numeradas com \(1\), \(2\) e \(3\), e em que faces opostas tenham o mesmo número. Se no primeiro lançamento sair a face \(i \in \{1,2,3\}\), determinamos \(\mathcal{F}_i(a,b)\); se no segundo lançamento obtivermos a face \(j \in \{1,2,3\}\), calculamos \(\mathcal{F}_j(\mathcal{F}_i(a,b))\); se de seguida surgir a face \(k\), compomos \(\mathcal{F}_k(\mathcal{F}_j(\mathcal{F}_i (a,b)))\); e assim sucessivamente. Deste modo, obtemos uma órbita de \((a,b)\) pelo sistema iterado de funções definido pelas aplicações \(\mathcal{F}_1\), \(\mathcal{F}_2\) e \(\mathcal{F}_3\), associada a uma dada sequência infinita de lançamentos do dado. Formalmente, cada órbita aleatória de \((a,b)\) é uma sucessão de termo geral \[n \in \mathbb{N}_0 \quad \mapsto \quad \left\{\begin{array}{ll} \mathcal{F}_{c_n}\circ \mathcal{F}_{c_{n-1}} \circ \cdots \circ \mathcal{F}_{c_1}(a,b) & \mbox{se $n \geq 1$} \\ (a,b) & \mbox{se $n=0$} \end{array} \right.\] onde \(c_j \in \{1,2,3\}\) e \(\left(c_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) descreve os resultados dos sucessivos lançamentos do dado. A figura 4 mostra os cinco primeiros iterados (ligados por segmentos para se reconhecerem mais facilmente) de todas as órbitas aleatórias de \((2,\,0.01)\).
Fig 4
