ATRACTOR

Em geral, todos os números reais \(\lambda\in\mathbb{R}\) podem ser escritos na forma de uma fracção contínua dada por: \[\lambda=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\frac{1}{a_{4}+...}}}},\] onde \(a_{i}\) são números inteiros e \(a_{i}>0,\;\forall i\in\mathbb{N}\) e escreve-se \(\lambda=[a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...]\) (não confundir com a representação decimal do número).

Por exemplo, \[\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}}}=[1,2,2,2,2,2,2,...].\] Outros exemplos: \[\sqrt{5}=[2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,...]\] \[\sqrt{7}=[2,1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,...]\] \[\sqrt{10}=[3,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,...]\] \[\sqrt[3]{2}=[1,3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,...]\] \[e=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,...]\] \[\pi=[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,...]\]

De forma análoga ao que acontece com as dízimas, dizemos que os três primeiros números são exemplos de fracções contínuas periódicas, enquanto que os três últimos dizem-se fracções contínuas não periódicas. Sabe-se que as fracções contínuas periódicas são exactamente as raízes de equações de grau \(2\) de coeficientes inteiros. Se tomarmos \(\lambda_{n}\) como sendo a razão entre a menor diagonal de um polígono regular de \(n\) lados e o seu lado, concluimos que \(\lambda _{n}\) só pode ser uma fracção contínua periódica para \(n\leq6\), uma vez que apenas neste caso se trata de uma raiz de uma equação de grau \(2\) de coeficientes inteiros.

De facto, temos:

\(\lambda_{4}=\sqrt{2}=[1,2,2,2,2,2,2,...]\) (fracção contínua periódica)

\(\lambda_{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=[1,1,1,1,1,1,1,...]\) (fracção contínua periódica)

\(\lambda_{6}=\sqrt{3}=[1,1,2,1,2,1,2,...]\) (fracção contínua periódica)

\(\lambda_{7}=2\cos\frac{\pi}{7}=[1,1,4,20,2,3,1,6,10,5,...]\) (fracção contínua não periódica)

\(\lambda_{8}=2\cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=[1,1,5,1,1,3,6,1,3,3,10,...]\) (fracção contínua não periódica)

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