ATRACTOR

Vejamos, em primeiro lugar, como podemos concluir a irracionalidade de \(\sqrt{2}\). Dado um ponto qualquer na recta \(x=\sqrt{2}y\) diferente da origem, vimos que a sucessão dos seus iterados era uma sucessão de pontos distintos nessa recta que tendiam para a origem. Supondo que as coordenadas desse ponto inicial são números inteiros, a sucessão das abcissas (ou das ordenadas) dos seus iterados seria uma sucessão limitada de números inteiros distintos, o que não pode acontecer. De facto, em qualquer porção limitada da recta real existe apenas um número finito de pontos de abcissa inteira. Mas, se tivéssemos \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), com \(a\) e \(b\) inteiros positivos, então viria \(a=\sqrt{2}b\) e o ponto \((a,b)\) seria um ponto no primeiro quadrante de coordenadas inteiras e pertencente à recta. Logo, \(\sqrt{2}\) é irracional (e, portanto, \(-\sqrt{2}\) também o é).

Supondo agora que a diagonal \(d\) e o lado \(l\) do quadrado são comensuráveis, temos \(\frac{d}{l}\in\mathbb{Q}\), ou seja, \(d=r.l\) para algum \(r \in \mathbb{Q}\). Como \(\pm \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\), temos que \(r\neq \pm \sqrt{2}\) e o ponto \((d,l)\) não está sobre nenhuma das duas rectas anteriores, logo os seus sucessivos iterados aproximam-se da recta \(x=-\sqrt{2}y\) e afastam-se da recta \(x=\sqrt{2}y\). Assim, a partir de uma certa ordem, pelo menos uma das coordenadas de um dos seus iterados será negativa e, como tal, não pode representar o valor de comprimentos de segmentos de recta, o que contraria o facto de, geometricamente, podermos continuar indefinidamente a construir novos quadrados. Logo, \(d\) e \(l\) são incomensuráveis.

Note-se que os pontos do primeiro quadrante sobre a recta \(x=\sqrt{2}y\) são exactamente os pontos que correspondem a um par \((d,l)\) onde \(d\) é a diagonal de um quadrado e \(l\) o seu lado. De facto, tal acontece se e só se \(d=\sqrt{2}l\), com \(d,l>0\). Assim, partindo de um quadrado qualquer e aplicando o processo de construção de novos quadrados usado na demonstração da incomensurabilidade, obtemos uma sucessão de pontos do primeiro quadrante sobre a recta \(x=\sqrt{2}y\) que correspondem aos pares ordenados de valores das diagonais e dos lados desses quadrados. Serão estes os únicos pontos para os quais os seus sucessivos iterados estão sempre no primeiro quadrante?

A app abaixo parece sugerir que sim. Para cada valor de \(n\), a região a cinzento representa o conjunto dos pontos para os quais pelo menos os seus primeiros \(n\) iterados se encontram no primeiro quadrante. Aumentando o valor de \(n\), podemos verificar que a região a cinzento vai sendo cada vez menor, o que sugere que apenas os pontos do primeiro quadrante sobre a recta \(x=\sqrt{2}y\) se encontram na região a cinzento para qualquer valor de \(n\) (note-se que os pontos cujos sucessivos iterados estão sempre no primeiro quadrante são exactamente aqueles que se encontram na região a cinzento para qualquer valor de \(n\)).

Instruções:
Clique no ponto vermelho para variar o ponto inicial; pode também escolher se pretende ver as linhas que unem os iterados representados no gráfico, restringir o ponto inicial aos pontos dentro da região cinzenta, mudar o valor de \(n\) ao qual a região cinzenta se refere ou mudar o polígono regular em cuja demonstração geométrica de incomensurabilidade este processo dinâmico se baseia.

Por que é que tal acontece?

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