Incomensurabilidade 
Dinâmica V
Seja \(B\) a matriz inversa da matriz \(A\). Notemos que os espaços próprios de \(A\) são também espaços próprios de \(B\), mas os valores próprios da matriz \(B\) são os inversos dos valores próprios da matriz \(A\). Assim, se o ponto inicial não se encontra sobre nenhuma das rectas \(x=\sqrt{2}y\) e \(x=-\sqrt{2}y\), então os seus iterados também vão estar sempre fora dessas rectas, afastando-se cada vez mais da recta \(x=-\sqrt{2}y\) e aproximando-se cada vez mais da recta \(x=\sqrt{2}y\), ou seja, aproximando-se dos valores da diagonal e do lado de um quadrado, no caso de serem ambos positivos. Se as coordenadas do ponto inicial forem números inteiros positivos, isto permite-nos obter aproximações da razão entre a diagonal e o lado de um quadrado por números racionais.
Por exemplo, tomemos \((x_{0},y_{0})=(1,1)\). Temos: \[\begin{array}{ll} (x_{1},y_{1})=(3,2) & \;\;\;\frac{3}{2}=1,5\\ (x_{2},y_{2})=(7,5) & \;\;\;\frac{7}{5}=1,4\\ (x_{3},y_{3})=(17,12) & \;\;\;\frac{17}{12}=1,41666...\\ (x_{4},y_{4})=(41,29) & \;\;\;\frac{41}{29}=1,41379...\\ (x_{5},y_{5})=(99,70) & \;\;\;\frac{99}{70}=1,41428... \end{array}\] sendo que \(\sqrt{2}=1,41421356...\)
De facto, considerando a sucessão \(r_{n}=\frac{x_{n}}{y_{n}}\), temos que \(\lim r_{n}=\sqrt{2}\), sendo \(r_{n}\in\mathbb{Q},\; \forall n\in\mathbb{N}.\)
Por que é que tal acontece?
