ATRACTOR

No caso do pentágono e do hexágono regular, as conclusões que iríamos obter seriam semelhantes às observadas no caso do quadrado. Em particular, teríamos:

- uma sucessão de números racionais que converge para \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) dada por: \[r_{n}=\frac{r_{n-1}+1}{r_{n-1}}=1+\frac{1}{r_{n-1}},\; r_{0}=1\]

- uma sucessão de números racionais que converge para \(\sqrt{3}\) dada por: \[t_{n}=\frac{t_{n-1}+3}{t_{n-1}+1}=1+\frac{2}{1+t_{n-1}},\; t_{0}=1\]

Logo, vem: \[r_{1}=1+\frac{1}{r_{0}}=1+\frac{1}{1}\] \[r_{2}=1+\frac{1}{r_{1}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}\] \[r_{3}=1+\frac{1}{r_{2}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}\]

\[\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\mbox{lim }r_{n}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}}}}=[1,1,1,1,1,1,1,...]\]

\[\begin{array}{cl} t_{n} & =1+\frac{2}{1+t_{n-1}}\\ & =1+\frac{2}{1+1+\frac{2}{1+t_{n-2}}}\\ & =1+\frac{2}{2+\frac{2}{1+t_{n-2}}}\\ & =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+t_{n-2}}},\: n>1 \end{array}\] \[t_{0}=1\] \[t_{1}=1+\frac{2}{1+1}=1+\frac{2}{2}=1+\frac{1}{1}\] \[t_{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+t_{0}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}\] \[t_{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+t_{1}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}}\] \[t_{4}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+t_{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}\] \[t_{5}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+t_{3}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}}}}\] \[t_{6}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+t_{4}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}}}\]

\[\sqrt{3}=\mbox{lim }t_{n}=\mbox{lim }t_{2n-1}-\mbox{lim }t_{2n}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+...}}}}}}=[1,1,2,1,2,1,2,...]\]

Nota: se considerarmos a segunda demonstração da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do pentágono, temos outra sucessão de números racionais que converge para \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) dada por: \[s_{n}=\frac{2s_{n-1}+1}{s_{n-1}+1}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{s_{n-1}}},\; s_{0}=1\]

Verifica-se por indução que \(s_{n}\) é a subsucessão de \(r_{n}\) formada pelos termos de ordem par, ou seja, \(s_{n}=r_{2n}\). Tal não é de estranhar, uma vez que os sucessivos pentágonos obtidos pela segunda demonstração são congruentes com os pentágonos de ordem par obtidos pela primeira demonstração. Verifique que assim é!