Dinâmica II

No caso do quadrado, observemos que, em termos de matrizes, a sucessão dos pontos é dada por:\[P_{n}=AP_{n-1},\;\forall n\in\mathbb{N},\] onde \[P_{n}=\begin{pmatrix}x_{n}\\ y_{n} \end{pmatrix}\] e \[A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\] ou seja, \[P_{n}=A^{n}P_{0},\;\forall n\in\mathbb{N}\]

A matriz \(A\) tem como valores próprios \(-1-\sqrt{2}\) e \(-1+\sqrt{2}\), associados ao espaços próprios gerados pelos vectores \((-\sqrt{2},1)\) e \((\sqrt{2},1)\), respectivamente. Dado que se tratam de espaços próprios de dimensão \(1\), são representados graficamente através de rectas que passam na origem cujas equações são \(x=-\sqrt{2}y\) e \(x=\sqrt{2}y\). Quando o ponto inicial se encontra sobre uma destas rectas, ele corresponde a um vector próprio da matriz e, consequentemente, todos os seus iterados também o são, pelo que se encontram todos sobre essa mesma recta. No entanto, o que acontece com os pontos fora da origem que se encontram sobre a recta \(x=\sqrt{2}y\) é bastante diferente do que acontece com os pontos fora da origem que se encontram sobre a recta \(x=-\sqrt{2}y\). De facto, uma vez que o valor próprio associado à recta \(x=\sqrt{2}y\) é, em valor absoluto, menor do que \(1\), os sucessivos iterados vão estar cada vez mais próximos da origem, sem no entanto nunca a atingir. Por outro lado, uma vez que o valor próprio associado à recta \(x=-\sqrt{2}y\) é, em valor absoluto, maior do que \(1\), os sucessivos iterados vão estar cada vez mais afastados da origem. Se o ponto inicial não se encontra sobre nenhuma dessas rectas, então os seus iterados também vão estar sempre fora dessas rectas, aproximando-se cada vez mais da recta \(x=-\sqrt{2}y\) e afastando-se cada vez mais da recta \(x=\sqrt{2}y\). Verifique que assim é no applet abaixo, onde a recta \(x=-\sqrt{2}y\) está representada a azul e recta \(x=\sqrt{2}y\) está representada a amarelo. Pode também verificar que no caso do pentágono e do hexágono regular o que acontece é algo de semelhante, apenas as rectas correspondentes a espaços próprios são diferentes.

Instruções:
Clique no ponto vermelho para variar o ponto inicial; pode também escolher se pretende ver as linhas que unem os iterados representados no gráfico, destacar o iterado de ordem \(n\) para \(n\) entre \(0\) e \(5\), restringir o ponto inicial aos pontos das rectas correspondentes a espaços próprios ou mudar o polígono regular em cuja demonstração geométrica de incomensurabilidade este processo dinâmico se baseia.


Tendo em conta estas considerações, poderemos concluir novamente que a diagonal e o lado do quadrado são incomensuráveis?

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