ATRACTOR

Temos que \(B=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). Diagonalizando a matriz \(B\), vem: \[B=\begin{pmatrix}-\sqrt{2} & \sqrt{2}\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-\sqrt{2} & 0\\ 0 & 1+\sqrt{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sqrt{2} & \sqrt{2}\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\]

Então, as sucessivas potências de \(B\) são dadas por: \[\begin{array}{cll} B^{n} & = & \begin{pmatrix}-\sqrt{2} & \sqrt{2}\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-\sqrt{2} & 0\\ 0 & 1+\sqrt{2} \end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix}-\sqrt{2} & \sqrt{2}\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\\ & = & \begin{pmatrix}-\sqrt{2} & \sqrt{2}\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\left(1-\sqrt{2}\right)^{n} & 0\\ 0 & \left(1+\sqrt{2}\right)^{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2\sqrt{2}} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2} & \frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{\sqrt{2}}\\ \frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2\sqrt{2}} & \frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2} \end{pmatrix} \end{array}\]

Logo, vem: \[\begin{array}{cll} P_{n} & = & B^{n}P_{0}\\ & = & \begin{pmatrix}\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2} & \frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{\sqrt{2}}\\ \frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2\sqrt{2}} & \frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{0}\\ y_{0} \end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}x_{0}+\frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{\sqrt{2}}y_{0}\\ \frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2\sqrt{2}}x_{0}+\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}y_{0} \end{pmatrix} \end{array}\]
\[x_{n}=\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}x_{0}+\frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{\sqrt{2}}y_{0}\] \[y_{n}=\frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2\sqrt{2}}x_{0}+\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}y_{0}\]

Note-se que as sucessões \(a_{n}=\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}\) e \(b_{n}=\frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}\) podem ser definidas por recorrência da seguinte forma: \[\begin{array}{ccc} a_{n}=a_{n-2}+2a_{n-1}, & \; a_{1}=1, & \; a_{2}=3\\ b_{n}=b_{n-2}+2b_{n-1}, & \; b_{1}=1, & \; b_{2}=2 \end{array}\]

Assim, uma vez que \(x_{n}=a_{n}x_{0}+2b_{n}y_{0}\) e \(y_{n}=b_{n}x_{0}+a_{n}y_{0}\), as sucessões \(x_{n}\) e \(y_{n}\) podem ser definidas por recorrência da seguinte forma: \[\begin{array}{cll} x_{n}=x_{n-2}+2x_{n-1}, & \; x_{1}=x_{0}+2y_{0}, & \; x_{2}=3x_{0}+4y_{0}\\ y_{n}=y_{n-2}+2y_{n-1}, & \; y_{1}=x_{0}+y_{0}, & \; y_{2}=2x_{0}+3y_{0} \end{array}\]

Se \(x_{0}\) e \(y_{0}\) são números inteiros positivos, conclui-se por indução que \(x_{n}\) e \(y_{n}\) são também números inteiros positivos para todo \(n\in\mathbb{N}\).

Além disso, se \(x_{0}\) e \(y_{0}\) são primos entre si, então também \(x_{n}\) e \(y_{n}\) são primos entre si para todo \(n\in\mathbb{N}\) o que também pode ser visto por indução.

De facto, temos: \[\begin{pmatrix}x_{n}\\ y_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{n-1}\\ y_{n-1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n-1}+2y_{n-1}\\ x_{n-1}+y_{n-1} \end{pmatrix}\]
\[x_{n}=x_{n-1}+2y_{n-1}\] \[y_{n}=x_{n-1}+y_{n-1}\]

Supondo que \(x_{n-1}\) e \(y_{n-1}\) são primos entre si, ou seja, \(\mbox{mdc}\left(x_{n-1},\: y_{n-1}\right)=1\), vem: \[\begin{array}{cl} \mbox{mdc}\left(x_{n},\: y_{n}\right) & =\mbox{mdc}\left(x_{n-1}+2y_{n-1},\: x_{n-1}+y_{n-1}\right)\\ & =\mbox{mdc}\left(x_{n-1}+2y_{n-1}-\left(x_{n-1}+y_{n-1}\right),\: x_{n-1}+y_{n-1}\right)\\ & =\mbox{mdc}\left(y_{n-1},\: x_{n-1}+y_{n-1}\right)\\ & =\mbox{mdc}\left(y_{n-1},\: x_{n-1}+y_{n-1}-y_{n-1}\right)\\ & =\mbox{mdc}\left(y_{n-1},\: x_{n-1}\right)\\ & =1 \end{array}\] ou seja, \(x_{n}\) e \(y_{n}\) são primos entre si.

A sucessão \(r_{n}=\frac{x_{n}}{y_{n}}\) pode então ser definida de duas maneiras distintas:

- pelo termo geral \[\begin{array}{cl} r_{n} & =\frac{x_{n}}{y_{n}}\\ & =\frac{\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}x_{0}+\frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{\sqrt{2}}y_{0}}{\frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2\sqrt{2}}x_{0}+\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}y_{0}} \end{array}\]

- por recorrência \[\begin{array}{cl} r_{n} & =\frac{x_{n}}{y_{n}}\\ & =\frac{x_{n-1}+2y_{n-1}}{x_{n-1}+y_{n-1}}\\ & =\frac{\frac{x_{n-1}}{y_{n-1}}+2}{\frac{x_{n-1}}{y_{n-1}}+1}\\ & =\frac{r_{n-1}+2}{r_{n-1}+1}\\ & =1+\frac{1}{1+r_{n-1}} \end{array}\]

Notas:

- Para cada par de valores inteiros positivos de \(x_{0}\) e \(y_{0}\), obtemos uma sucessão de racionais que converge para \(\sqrt{2}\).

- No caso anterior, onde tínhamos \(x_{0}=1\) e \(y_{0}=1\), os termos da sucessão \(r_{n}\) podem ser escritos da seguinte forma: \[r_{0}=1\] \[r_{1}=1+\frac{1}{1+r_{0}}=1+\frac{1}{1+1}=1+\frac{1}{2}\] \[r_{2}=1+\frac{1}{1+r_{1}}=1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}\] \[r_{3}=1+\frac{1}{1+r_{2}}=1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}\] \[\sqrt{2}=\mbox{lim }r_{n}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}}}}\]

Diz-se que \(\sqrt{2}\) está representado sob a forma de uma fracção contínua. Para saber mais sobre fracções contínuas, consulte esta página.

- Há sucessões que convergem para \(\sqrt{2}\) mais rapidamente do que as sucessões obtidas pelo método anterior, tal como a seguinte sucessão definida por recorrência: \[s_{0}=1\] \[s_{n}=\frac{1}{2}\left(s_{n-1}+\frac{2}{s_{n-1}}\right),\; n>0\]

Temos: \[s_{1}=\frac{3}{2}=1,5\] \[s_{2}=\frac{17}{12}=1,416666666666...\] \[s_{3}=\frac{577}{408}=1,414215686274...\] \[s_{4}=\frac{665857}{470832}=1,414213562374...\] sendo que \(\sqrt{2}=1,414213562373...\)

Na verdade, \(\left(s_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) é a subsucessão da sucessão \[\begin{array}{cl} r_{n} & =\frac{\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}.1+\frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{\sqrt{2}}.0}{\frac{-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2\sqrt{2}}.1+\frac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}}{2}.0}\\ & =\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}}{\left(1+\sqrt{2}\right)^{n}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}}\sqrt{2},\; n>0 \end{array}\] formada pelos termos cuja ordem é uma potência inteira de \(2\), ou seja, \(s_{n}=r_{2^{n}}\), o que pode ser visto usando indução sobre \(n\).

Para \(n=0\), temos \[s_{0}=r_{2^{0}}=r_{1}=1\]

Supondo agora que temos \[s_{n-1}=r_{2^{n-1}}=\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}\] então vem \[\begin{array}{cl} s_{n} & =\frac{1}{2}\left(s_{n-1}+\frac{2}{s_{n-1}}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}+\frac{2}{\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}+\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\frac{\left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}\right)^{2}+\left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}\right)^{2}}{\left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}\right)\left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}\right)}\sqrt{2}\\ & =\frac{1}{2}\frac{2\left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}\right)^{2}+2\left(\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}\right)^{2}}{\left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}\right)^{2}-\left(\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n-1}}\right)^{2}}\sqrt{2}\\ & =\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n}}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n}}}{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2^{n}}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2^{n}}}\sqrt{2}\\ & =r_{2^{n}} \end{array}\]

O que acontece no caso do pentágono e do hexágono regular?

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